Математическая модель задачи определения рациональных сфер деятельности - Ланкин В.Е. и др. Исследование и разработка организационных систем управления в высших учебных заведениях

В.Е. Ланкин, Г.В. Горелова, В.Д. Сербин, Д.В. Арутюнова, А.В. Татарова, Г.Б. Баканов, Е.Л. Макарова
Исследование и разработка организационных систем управления в высших учебных заведениях
Монография. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. – 178 с.

Оглавление

3. Математическая модель задачи определения рациональных сфер деятельности

При переходе от концептуальной модели к математической выделяются два момента:

– построение формальных аналогов элементов деятельности;

– формализация представлений об их взаимосвязи.

Первый вопрос может решаться следующим образом. Каждому признаку, который принимается во внимание при определении взаимосвязи между элементами деятельности, сопоставляется позиция в векторе признаков. В результате у этого вектора будет n компонент, где n ‒ общее число таких признаков. С каждым элементом деятельности связывается свой вектор признаков, причем, значение i-й компоненты (i = 1, 2, . . . , n) равно единице, если i-й признак присущ данному элементу, и нулю ‒ в противном случае. Например, если существует необходимость учитывать взаимосвязь элементов деятельности по реализации некоторой цели, то эта цель будет выступать в качестве такого признака. Тогда у элементов, направленных на реализацию этой цели, соответствующая компонента вектора будет равна единице. Таким образом, множество элементов деятельности в формальной модели представляется множеством n -мерных векторов признаков.

Прежде чем переходить к формализации взаимосвязей элементов деятельности, рассмотрим общие вопросы формального описания связей.

Пусть выделено М связей между элементами некоторого объекта. Наличие связей, как уже было сказано, фиксируется выделением некоторого набора из множества элементов видов деятельности, причем направленным связям соответствуют упорядоченные, а ненаправленным ‒ неупорядоченные наборы. Тогда k-й связи, где k = =1, 2, . . . , М, соответствует функция

, где . (3.1)

В (3.1) множество – это декартовое произведение множеств А самих на себя i раз. Значение удовлетворяет условию .

Для функции зададим значения следующим образом:

(3.2)

В формуле (3.2), если элементы множества А, составляющие набор В, охвачены связью типа k, то =. В противном случае, = 0 (см. формулу (3.2)). Предлагается относиться к параметру . как к некоторой вероятности. Так, если связь единственна, то =1, а если связь не является единственной, то значение задает уровень стабильности связи.

Для направленной связи существует единственный элемент В, для которого ≠ 0, а для ненаправленной ‒ таких элементов несколько, они отличаются друг от друга лишь порядком составляющих их элементов множества А, причем, если для некоторого В справедливо условие ≠ 0, то и для любого С, отличающегося от В лишь порядком составляющих, будет справедливо ≠ 0.

Связи можно различать по числу охватываемых элементов. Назовем связь n-местной, если она охватывает ровно n элементов. Если связь является n-местной, то ее можно рассматривать как связь с размерностью n и для их рассмотрения можно использовать функции вида , где .

Например, двухместная связь описывается функцией , причем справедливо a, b.

Знания о связях могут содержать различную степень неопределенности, что вызывается не только недостаточной изученностью объекта, но и самой его природой. В соответствии с этим выделим детерминированные и вероятностные связи.

Вероятностные связи являются наиболее сложными в моделировании. Они характеризуются присутствием неопределенности, которая на формальном языке описывается вероятностями наличия и уровнем стабильности (интенсивности) связи.

Выше был рассмотрен способ описания детерминированных связей. С учетом этого подхода вероятностные связи могут быть описаны следующим образом.

Пусть k -я связь является вероятностной. Если фиксируется лишь наличие этой связи, то ей соответствует функция , где .

Функция равна вероятности того, что k -я связь охватывает элементы множества Аⁱ, составляющие некоторой совокупности В. Если, кроме того, указывается интенсивность k-ой связи, то ей соответствует функция , где х – показатель интенсивности k-й связи. Отметим, что возможно, когда для описания интенсивности некоторой связи требуется не одна, а несколько разнокачественных характеристик, тогда с этой связью можно сопоставить вектор-функцию, каждая компонента которой соответствует определенной характеристике интенсивности связи.

Значение функции равно вероятности того, что на элементах множества А, составляющих В, х ≤ ξ, т. е. она представляет собой функцию распределения показателя х.

Рассмотрим примеры связей различных видов. Пусть имеется ряд центров обработки информации (ЦОИ), соединенных попарно каналами автоматической передачи данных. Перенумеруем все каналы k = 1, 2,..., М. Каждый канал можно рассматривать как двухместную связь между определенной парой ЦОИ. Если требуется отразить лишь наличие связи, то каждому каналу ставится в соответствие функция , где k ‒ номер канала, , A ‒ множество всех ЦОИ. Эта функция равна 1, если k-й канал соединяет ЦОИ и , и 0 ‒ в противном случае. Если необходимо указать и интенсивность связей, под которой понимается пропускная способность каналов (где k = 1, 2,... , М), то для соответствующих и , . Пусть, наконец, требуется учитывать возможность полной либо частичной неисправности каналов (уменьшение пропускной способности). Тогда k-й канал может описываться функцией . Для ЦОИ, не соединенных k-м каналом, значение функции определяется по формуле

Если ЦОИ и не соединены каналом, то равна вероятности того, что пропускная способность этого канала не превосходит ξ.

Рассмотрение в данном примере ЦОИ оправдано, так как в организационных структурах практически все элементы являются ЦОИ.

Выше приведен общий способ описания детерминированных связей (вероятностные связи из-за громоздких аналитических выражений в дальнейшем рассматриваться не будут). Если связи ненаправленные, то для их описания могут использоваться более простые способы. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

1. Каждой связи ставится в соответствие функция множество всех подмножеств множества А.

2. Каждому элементу множества А ставится в соответствие значение функции . Значения функций и , как и раньше, равны 0, если соответствующие элементы множества А не охвачены k-й связью, и равны в противном случае.

Аналогично могут быть рассмотрены и другие условия для связности.

Часто встречаются ситуации, когда среди выделенных связей существуют такие, все качественные характеристики которых существенны для проводимого исследования и они полностью совпадают. Такие связи будем называть эквивалентными. Рассмотренные выше каналы передачи данных между ЦОИ ‒ пример эквивалентных связей.

Понятно, что связи, эквивалентные для одной задачи, для другой, в которой для их описания существенны иные признаки, могут оказаться неэквивалентными. Отметим, что при этом эквивалентные связи допускают совместное формальное описание. Рассмотрим это более подробно.

Пусть существует М эквивалентных связей, которым соответствует М функций вида . Тогда они могут быть описаны G-функцией, которая определяется по формуле

. (3.3)

В формуле (3.3) G-функция в общем виде представима вектором вида

, (3.4)

где k = 1, 2, . . . , М, причем и l=1, 2,. . . ,m.

Для вектора (3.4), которое определяет интенсивность справедливо свойство

Итак, если в системе есть М связей, то в общем случае они могут быть описаны с помощью Т функций (по количеству), причем Т ≤ М и каждая функция соответствует определенной системе эквивалентных связей.

Формализация взаимосвязей элементов деятельности осуществляется следующим образом. Вводится функция , характеризующая силу парных связей между ними, она является неотрицательной и симметричной. Эту функцию будем называть мерой близости, ее значение тем больше, чем сильнее связаны между собой два элемента деятельности.

В терминах изложенного выше функция задает систему двуместных, детерминированных, ненаправленных, эквивалентных связей. При определении меры близости могут учитываться совпадения значений соответствующих компонент векторов признаков. Уникальность совпадающих значений (если некоторый признак встречается (или отсутствует) почти у всех векторов, то его одновременное наличие (или отсутствие) у данной пары векторов не должно значительно увеличивать меру их близости). Что бы отражать важность совпадения значений той или иной компоненты, будем использовать весовые коэффициенты.

Рассмотрим ряд предложенных в литературе показателей парной близости единичных векторов.

Введем обозначения:

‒ i-й n-мерный единичный (или нормированный) вектор;

‒ q-я компонента вектора ;

‒ количество признаков, которыми одновременно обладают оба элемента и ;

‒ количество признаков, которыми одновременно не обладают оба элемента и ;

‒ количество признаков, которыми обладает i-й элемент ;

‒ количество компонент векторов и , значения которых совпадают;

‒ количество компонент векторов и , значения которых не совпадают.

В качестве простейшей меры близости может применяться коэффициент, который задает средний вклад для векторов и и который определяется по формуле:

. (3.5)

Аналогично можем использовать средние оценки для признаков векторов и . По аналогии с (3.5) расчетная формула примет вид:

. (3.6)

Кроме того, можно использовать формулы, в которых исследователь преднамеренно увеличивает вес некоторых параметров. К таким формулам отнесем следующие:

. (3.7)

. (3.8)

Видим, что в (3.7) удвоено число совпадений, а в (3.8) соответственно удвоено число несовпадений.

Определенный интерес может представлять геометрическая мера близости для элементов и , определяемая по формуле:

. (3.9)

Меры близости, рассчитанные по формулам (3.5) ‒ (3.9), будем использовать для конструирования организационной структуры системы управления.

Оглавление

Приложение 2. Организационная структура учебного заведения и возможные подходы к ее построению

3. Математическая модель задачи определения рациональных сфер деятельности