В.Е. Ланкин, Г.В. Горелова, В.Д. Сербин, Д.В. Арутюнова, А.В. Татарова, Г.Б. Баканов, Е.Л. Макарова
Исследование и разработка организационных систем управления в высших учебных заведениях
Монография. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. – 178 с.

Приложение 1. Когнитивные модели

В результате когнитивной структуризации происходит разработка неформального описания знаний о предметной области, которую можно наглядно изобразить в виде схемы, графа, матрицы, а также таблицы или текста. Наиболее удобной формой является грф – когнитивная карта (1).

Понятие когнитивной карты – карты познания – является исходным в когнитивном анализе и моделировании сложных ситуаций. Когнитивные карты являются схемами причинно-следственных связей, интерпретирующих мнения и взгляды лица принимающего решения.

С формальных позиций когнитивная карта – это знаковый ориентированный граф (орграф)

G = < V, E >, (1)

где V – множество вершин (объектов, концептов), вершины V_iÎV, i =1, 2,…, k являются элементами изучаемой системы; Е – множество дуг, дуги е_ijÎE, i,j=1, 2, …, N отражают взаимосвязь между вершинами V_iи V_j; влияние V_iна V_j в изучаемой ситуации может быть положительным, когда увеличение (уменьшение) одного фактора приводит к увеличению (уменьшению) другого, отрицательным, когда увеличение (уменьшение) одного фактора приводит к уменьшению (увеличению) другого, или отсутствовать (0) в рассматриваемый момент времени.

Матрица отношений когнитивной карты А_G– это квадратная матрица, строки и столбцы которой помечены вершинами графа G, а на пересечении i-строки, j-столбца стоят (или нет) единицы, если существует (не существует) отношение между элементами V_iи V_j, т.е.

А_G=[а_ij]_k_´_k , а_ij = (2)

Отношение а_ij может принимать значение «+1» или «-1».

Отношение между переменными (взаимодействие факторов) – это количественное или качественное описание влияния изменения одной переменной на другие.

1.1. Когнитивные модели, функциональные графы. На уровне когнитивной модели каждая связь между факторами когнитивной карты раскрывается до соответствующего уравнения, которое может содержать как количественные (измеряемые) переменные, так и качественные (неизменяемые) переменные. Количественные переменные входят естественным образом в виде их численных значений. Каждой качественной переменной может быть поставлена в соответствие совокупность лингвистических переменных типа «сильно», «умеренно», «слабо» и т.п., которым соответствует числовая шкала [0;1], на которой задается функция принадлежности. По мере накопления знаний о процессах становится возможным более детально раскрывать характер связей между факторами (процедуры «data mining»). Все это порождает различные типы когнитивных моделей.

Основные типы когнитивных моделей:

· векторный функциональный граф (частными случаями которого являются знаковый орграф, взвешенный знаковый орграф и простейший функциональный граф);

· параметрический векторный функциональный граф;

· модифицированный граф.

Векторный функциональный граф(Ф-граф) – это кортеж

F=<G, X, F> , (3)

где 1) G=<V,E> ‒ ориентированный граф;

2) X – множество параметров вершин V; X={X⁽^Vi⁾}, i=1,2,…,k, X⁽^Vi⁾={x⁽ⁱ⁾_g}, g=1,2,…n_i; т.е. каждой вершине ставится в соответствие вектор независимых друг от друга параметров X⁽^Vi⁾, (или один параметр x⁽ⁱ⁾_g=x_i,если g=1); X:V®R, R – множество вещественных чисел;

3) F=F(X,E)= F(x_i, x_j, e_ij) – функционал преобразования дуг, ставящий в соответствии каждой дуге либо знак («+», «-»), либо весовой коэффициент w_ij, либо функцию f(x_i , x_j , e_ij) = f_ij.

В зависимости от F(X,E) вводится расширенное понятие орграфа.

Знаковый орграф (когнитивная карта) – это F - граф, в котором

i,j=1,2, …k (4)

Взвешенный знаковый орграф – это F - граф, в котором

(5)

где w_ij– весовой коэффициент; w_ijÎW, W – множество всех дуг, W: E´X®R. R – множество вещественных чисел. Оценка w_ij может определяться одним числом или быть интервальной.

Простейший функциональный граф – это Ф-граф, в котором

(6)

f_ij – это функциональная зависимость параметров вершин, которая ставится в соответствии каждой дуге. Зависимость f_ij может быть не только функциональной, но и стохастической h_ij.

Определение Ф-графов может быть обобщено нижеследующим образом (согласно Ф.С. Робертсу).

Параметрический векторный функциональный граф Ф_п – это кортеж

Ф_п<<V, E>, X, F, q> , (7)

в котором:

1) G = < V, E>, V={v_i| v_iÎV, i=1, 2,…,k }; E={e_i| e_iÎE, i=1, 2,…,k }; G – ориентированный граф;

2) X:V® q, X – множество параметров вершин, X={| ÎX, i=1, 2,…,k }, ={x⁽ⁱ⁾_g}, g=1,2,…,l. x⁽ⁱ⁾_g – g-параметр вершины Vi, если g=1, то x⁽ⁱ⁾_g = x_i;

q ‒ пространство параметров вершин;

3) F=F(X, E) – функционал преобразования дуг, F: E´X´q®R.

Определение параметров характеристики f_ij включает: определение шкалы, показателей, метода, точности, единицы измерения.

Модифицированные МФ-графы. Для отражения динамики происходящих в системе под воздействием всевозможных возмущений изменений, в модель вводится время.

Непрерывное временное пространство T – пространство, в котором происходят динамические процессы.

Последовательность моментов времени {t_n} – это моменты, выделенные в пространстве T по определенным правилам и для которых определены воздействия на систему и правила изменения состояний системы.

Полагаем, что изменения состояний системы происходят мгновенно.

Рассмотрим непрерывный и дискретный случаи наступления очередного момента времени в последовательности T_n.

В дискретном случае tÎ(t_n, t_n+1), причем существуют пределы для переменных состояния и «разрывное» изменение состояния может происходить только в моменты {t_n}, эти состояния обозначим соответственно S(t_-) и S(t₊), т.е. до и после t_n.

В непрерывном случае состояние системы считается неизменным на всем интервале tÎ(t_n, t_n+1). В непрерывном случае последовательность {t_n} является следствием дискретизации временного пространства, состояния S(t_n) системы на интервале (t_n, t_n+1) интерполируются по заранее заданной схеме.

Продвижение системы во времени от одного состояния к другому требует правила построения последовательностей <t_n, S_n, Q_n>, где S_n = =S(t_n) – состояние системы, Q_n – внешнее воздействие в момент времени t_n, n=1,2, … .

Для моделирования взаимодействия сложных по природе процессов требуется определить схему взаимовлияния факторов и построение механизмов реакции на возмущение и его передачу. Введем понятия: элементарное возмущение (элементарный импульс), поступившее возмущение, генерируемое возмущение, которые позволят ввести далее определение модифицированного МФ-графа, отражающего динамику процессов в системе.

Рассмотрим ряд определений.

Импульс (Imp) (возмущение) P_v(t) в вершине vÎV в момент времени tÎT – это изменение параметра в этой вершине в момент времени t:

P_v(t) = X_v(t₊) – X_v(t_-).

Внешний импульс в момент t – это совокупность Q(t)={Q_v(t), vÎV}.

Для выделения двух самостоятельных механизмов в системе‒ механизма реакции на поступившее возмущение и механизма генерации возмущения ‒ произведем разделение понятия импульса в вершине на три взаимосвязанных понятия: элементарное, поступившее и генерируемое возмущения.

Элементарное возмущение – это импульс, несущий информацию о воздействии одной вершины на другую. В совокупности элементарных импульсов выделяются: внутренний и внешний.

Поступившее возмущение (P_x) – это совокупность элементарных импульсов, воздействующих на вершину в один и тот же момент времени.

Генерируемое возмущение (P_uv) – возмущение, формируемое в вершине для воздействия на другие вершины через дуги.

Модифицированный МФ-граф – это кортеж

МФ = <G, (X, Dp, P_xv, P_uv, m, n, D_u, P_e), (h, W, D_b), e>, (8)

в котором: G=<V, E> ‒ ориентированный граф (когнитивная карта);

(X, Dp, P_xv, P_uv, m, n, D_u, P_e) – параметрические характеристики вершин и механизмы преобразования возмущений.

2.3. Моделирование распространения возмущений на когнитив-ных картах, импульсные процессы (механизм преобразования возмущений). Объект моделирования можно рассматривать как совокупность взаимодействующих между собой динамических процессов, протекающих в реальном времени. В модели процессов также должно присутствовать время, но при моделировании разными типами графов это время может не иметь смысла времени, а отражать только последовательность изменений состояний. Это имеет место для знаковых орграфов и знаковых взвешенных орграфов.

Построение модели с использованием МФ-графов требует определения:

- совокупности факторов моделируемого объекта, которые представляются множеством вершин V графа G;

- совокупности воздействия факторов друг на друга (отношений между факторами), которые представляются множеством дуг E графа G;

- характеристик дуг, которые представляются кортежем (h, W, D_b);

- внешних возмущений, представляемых подмножеством импульсов QÍ{Imp}^*;

- предельной точности вычислений e.

Заметим, что в немодифицированным Ф-графе генерируемое возмущение совпадает с поступившим возмущением и равняется сумме элементарных импульсов, воздействующих на вершину в данный момент времени.

Под влиянием различных возмущений, значения переменных в вершинах графа могут изменяться; сигнал, поступивший в одну из вершин, распространяется по цепочке на остальные, усиливаясь или затухая.

Правило (PR) изменения параметров в вершинах в момент t_n₊₁

Пусть параметр x_i зависит от времени, т.е. x_i(t), t=1,2,3,... Тогда можно определить процесс распространения возмущения по графу, т.е. переход системы из состояния t-1 в t, t+1, … .

Пусть значение x_i(t+1) в вершине v_i зависит от x_i(t) и от вершин, смежных с Vi. Пусть V_i смежна с V_j, пусть p_j(t) – изменение в вершине V_j в момент времени t, тогда влияние этого изменения на параметр x_i в момент t будет описываться функцией ±p_j(t) в зависимости от знака дуги, соединяющего V_i и V_j.

В общем случае, если имеется несколько вершин Vj, смежных с Vi, процесс распространения возмущения по графу определяется правилом

(9)

при известных начальных значениях X(0) во всех вершинах и начальном векторе возмущения P(0).

Моделирование можно проводить шагами или импульсами. Суть такого моделирования состоит в том, что в одной из вершин графа задается определенное изменение. Эта вершина актуализирует всю систему показателей, т.е. связанных с ней вершин, в большей или меньшей степени. Таких вершин может быть несколько, их принято называть активизирующими.

Представим функцию f_ij между вершинами V_j, V_i с помощью коэффициентов l_ji, w_ji, характеризующих знак (l_ji: «+» или «-») и степень влияния w_ji параметра вершины V_j на параметр вершины Vi; функцию p_j(t) влияния изменения в смежной с V_j вершине V_i заменим импульсом

p(n) = x(n+1) – x(n),

где x(n), x(n+1) – величины показателя в вершине V при шагах имитации в момент t=n и следующим за ним t=n+1. Тогда формула (9) преобразуется к виду

(10)

В моделях этого типа коэффициенты ω_ij, характеризующие взаимовлияние смежных вершин, могут определяться либо экспертно, либо статистическими методами.

В такие модели могут вводиться еще и лаги, т.е. задержки передачи воздействия по каждой дуге во времени.

Правило (PR) изменения параметров в вершинах в момент t_n₊₁, если в момент времени t_n в вершины поступили импульсы:

(11)

Импульс, порожденный изменением параметра в вершине:

(12)

Так как в Ф-графе импульс в импульсном процессе представляется упорядоченной последовательностью без привязки ко времени, то можно использовать запись формул «в n-й момент времени». Тогда

(13)

(14)

При этом последовательность <n, X(t_n), Q(t_n)> является модельным представлением системы <t_n, S_n, B_n>.

Математическая модель импульсных процессов в матричном виде (на знаковых графах)

Пусть , t=0,1, 2,… – вектор внешних импульсов q_it, вносимых в вершины v_i в момент времени t;

, t=0,1, 2,…, – вектор значений параметров x_it вершин v_i в момент времени t;

– вектор параметров вершин в момент времени t, который задается уравнением

R_t = X_t – X_t_-1, t=1, 2 ,3, …

Изменения параметров вершин задаются следующим уравнением:

X_t = X_t_-1 + AR_t_-1 + Q_t_-1.

Получим из последнего уравнения выражение для R_t:

R_t=A^t-1Q₀ + A^t-2 Q₁+…+ AQ_t-2+ IQ_t-1, (15)

где I – единичная матрица.

Для частного случая импульсных процессов на когнитивных картах, называемых автономными (внешние импульсы вносятся только один раз в начале моделирования), p_it=0, "t³1 и для изменения параметров получаем

, =1, 2…,N; ‒ элемент матрицы .

Простейшим вариантом распространения возмущения является случай, когда P(0) имеет лишь один ненулевой вход, т.е. возмущение поступает только в одну вершину V_i. Такие процессы принято называть простыми процессами распространения возмущений.

Оглавление