Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике. Однако экономисту полезно знать о свойствах интеллектуального инструмента, которым он пользуется.

С ростом мощности компьютеров необходимость применения изощренных методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором, поскольку весьма мало (доли секунд). Поэтому мы разберем лишь три метода.

Простой перебор. Возьмем некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Как его построить? Например, если имеется ограничение типа  2Х₁  + 5Х₂   ≤ 10,       то, очевидно,  0 ≤ Х₁  ≤ 10/2 = 5 и 0 ≤ Х₂  ≤ 10/2 = 5. Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, как было в задаче о диете, можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его "обращенную" к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед.

Проведем перебор точек параллелепипеда с шагом 1/10ⁿ  последовательно при  n=2,3,…, вычисляя значения целевой функции и проверяя наличие ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до 1/10ⁿ .)   

Направленный перебор. Начнем с точки, удовлетворяющей ограничениям (ее можно найти простым перебором). Будем последовательно (или случайно - т.н. метод случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз в точку с более высоким значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем двигаться по ней (находя одну из координат по уравнению ограничения). Затем движение по ребру (когда два ограничения-неравенства переходят в равенства)… Остановка - в вершине линейного многогранника. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆ ; если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор с шагом ∆/2 , ∆/4 и т.д.)

Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для  решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Разберем пример со стр.208 книги [3].

Рассмотрим задачу линейного программирования, сформулированную выше при рассмотрении оптимизации номенклатуры и объемов выпуска:

F = 15 Х₁ + 12 Х₂  + 14 Х₃ → max .

Х₁   / 200  + Х₂  / 300 + Х₃  / 120 ≤ 100 ,       

Х₁   / 300  + Х₂  / 100 + Х₃  / 100 ≤ 100 ,       

Х₃ / 80 ≤ 100 .                                           

Неотрицательность переменных не будем специально указывать, поскольку в задачах линейного программирования это предположение всегда принимается.

В соответствии с симплекс-методом введем т.н. "свободные переменные" Х₄ , Х₅ , Х₆ , соответствующие недоиспользованным мощностям, т.е. перейдем к системе уравнений:

Х₁   / 200  + Х₂  / 300 + Х₃  / 120  + Х₄  = 100 ,       

Х₁   / 300  + Х₂  / 100 + Х₃  / 100  + Х₅  = 100 ,      

Х₃ / 80  +  Х₆  = 100 ,

15 Х₁ + 12 Х₂  + 14 Х₃  =  F .

У этой системы имеется очевидное решение, соответствующее вершине многогранника допустимых значений переменных:

Х₁  = Х₂  = Х₃  = 0,  Х₄  = Х₅    = Х₆  =  100,  F = 0.

В терминах исходной задачи это значит, что ничего не надо выпускать. Такое решение приемлемо только на период летних отпусков.

Выбираем переменную, которая входит в целевую функцию F с самым большим положительным коэффициентом. Это Х₁ .

Сравниваем частные от деления свободных членов в первых трех уравнениях на коэффициенты при только что выбранной переменной Х₁:

100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .

Выбираем строку, которой соответствует минимальное из всех положительных отношений. В рассматриваемом примере - это первая строка, которой соответствует отношение  20000.

Умножим первую строку на 200, чтобы получить Х₁  с единичным коэффициентом:

Х₁     + 2/3 Х₂   + 2/1,2 Х₃   + 200 Х₄  = 20000 .

Затем умножим вновь полученную строку на (-1/300) и сложим со второй строкой, получим    

7/900 Х₂   + 4/900 Х₃  - 2/3  Х₄ + Х₅  = 100/3.

Ту же преобразованную первую строку умножим на (-15) и сложим со строкой, в правой части которой стоит      F, получим:

2 Х₂  - 11 Х₃  - 3000 Х₄  =  F - 300000.

В результате система уравнений преобразуется к виду, в котором переменная Х₁   входит только в первое уравнение:

Х₁     + 2/3 Х₂   + 2/1,2 Х₃   + 200 Х₄  = 20000 ,

7/900 Х₂   + 4/900 Х₃  - 2/3  Х₄ + Х₅  = 100/3,

Х₃ / 80  +  Х₆  = 100 ,

2 Х₂  - 11 Х₃  - 3000 Х₄  =  F - 300000.

Очевидно, у новой системы имеется улучшенное по сравнению с исходным решение, соответствующее вершине в шестимерном пространстве:

Х₁  =  20000, Х₂  = Х₃  = Х₄  =  0,  Х₅    = 100/3, Х₆  =  100,  F = 300000.

В терминах исходной задачи это значит, что надо выпускать только кухни. Такое решение приемлемо, если допустимо выпускать только один вид продукции.

Повторим описанную выше операцию. В строке с F имеется еще один положительный коэффициент - при Х₂  (если бы положительных коэффициентов было несколько - мы взяли бы максимальный из них). На основе коэффициентов при  Х₂  (а не при   Х₁, как в первый раз) образуем частные от деления соответствующих свободных членов на эти коэффициенты:

20000 / (2/3) =  30000,  (100/3) / (7/900) =  30000/7, 100/0 = + ∞.

Таким образом, нужно выбрать вторую строку, для которой имеем наименьшее положительное отношение 30000/7. Вторую строку умножим на 900/7 (чтобы коэффициент при  Х₂  равнялся 1). Затем добавим обновленную строку ко всем строкам, содержащим Х₂  , предварительно умножив их на подходящие числа, т.е. такие, чтобы все коэффициенты при Х₂  стали бы после сложения равны 0, за исключением коэффициента второй строки, который уже стал равняться 1. Получим систему уравнений:

Х₁   +            9/7 Х₃   + 1800/7 Х₄   - 600/7 Х₅             =  120000/7 ,

Х₂   + 4/7 Х₃  -   600/7 Х₄       + 900/7Х₅            = 30000/7,

Х₃ / 80                                         +  Х₆  = 100 ,

- 85/7 Х₃  - 19800/7 Х₄  - 1800/7 Х₅           =  F - 308571.

Поскольку все переменные неотрицательны, то из последнего уравнения следует, что прибыль F достигает своего максимального значения, равного 308571, при Х₃  = Х₄  = Х₅  = 0. Из остальных уравнений следует, что при этом Х₁  = 120000/7 = 17143, Х₂  = 30000/7 = 4286, Х₆  = 100. Поскольку в строке с F не осталось ни одного положительного  коэффициента при переменных, то алгоритм симплекс-метода закончил свою работу, оптимальное решение найдено.

Практические рекомендации таковы: надо выпустить 17143 кухни, вчетверо меньше, т.е. 4286 кофемолок, самоваров не выпускать вообще. При этом прибыль будет максимальной и равной 308571. Все производственное оборудование будет полностью загружено, за исключением линии по сборке самоваров.

Транспортная задача. Различные технико-экономические и экономические задачи производственного менеджмента, от оптимальной загрузки станка и раскройки стального листа или полотна ткани до анализа межотраслевого баланса и оценки темпов роста экономики страны в целом, приводят к необходимости решения тех или иных задач линейного программирования. В книге [2] приведен обширный перечень публикаций, посвященный многочисленным применениям линейного программирования в металлургии, угольной, химической, нефтяной, бумажной и прочих отраслях промышленности, в проблемах транспорта и связи, планирования производства, конструирования и хранения продукции, сельском хозяйстве, в научных исследованиях, в том числе экономических,  и даже при регулировании уличного движения.

В качестве очередного примера рассмотрим т.н. транспортную задачу. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их потребностей. Необходимо доставить товар со складов потребителям. Можно по-разному организовать "прикрепление" потребителей к складам, т.е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определенному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке.

Например, может идти речь о перевозке песка - сырья для производства кирпичей. В Москву песок обычно доставляется самым дешевым транспортом - водным. Поэтому в качестве складов можно рассматривать порты, а в качестве запасов - их суточную пропускную способность. Потребителями являются кирпичные заводы, а их потребности определяются суточным производством (в соответствии с имеющимися заказами). Для доставки необходимо загрузить автотранспорт, проехать по определенному маршруту и разгрузить его. Стоимость этих операций рассчитывается по известным правилам, на которых не имеет смысла останавливаться.

Рассмотрим пример транспортной задачи, исходные данные к которой представлены в табл. 5.

Табл. 5. Исходные данные к транспортной задаче.

	Потреби-тель 1	Потреби-тель 2	Потреби-тель 3	Потреби-тель 4	Запасы на складах
Склад 1	2	5	5	5	60
Склад 2	1	2	1	4	80
Склад 3	3	1	5	2	60
Потреб-ности	50	40	70	40	200

В табл.5, кроме объемов потребностей и величин запасов, приведены стоимости доставки единицы товара со склада i, i=1,2,3, потребителю  j, j=1,2,3,4.. Например, самая дешевая доставка - со склада 2 потребителям 1 и 3, а также со склада 3 потребителю 2. Однако на складе 2 имеется 80 единиц товара, а потребителям 1 и 3 требуется 50+70 =120 единиц, поэтому к ним придется вести товар и с других складов. Обратите внимание, что в табл.5 запасы на складах равны суммарным потребностям. Для примера с доставкой песка кирпичным заводам это вполне естественное ограничение - при невыполнении такого ограничения либо порты будут засыпаны горами песка, либо кирпичные заводы не выполнят заказы.

Надо спланировать перевозки, т.е. выбрать объемы Х_ij  поставок  товара со склада i потребителю  j , где i  = 1,2,3; j = 1,2,3,4. Таким образом, всего в задаче имеется 12 переменных. Они удовлетворяют двум группам ограничений. Во-первых, заданы запасы на складах:

X₁₁  + Х₁₂  + Х₁₃  + Х₁₄   = 60 ,

X₂₁  + Х₂₂  + Х₂₃  + Х₂₄   = 80 ,

X₃₁  + Х₃₂  + Х₃₃  + Х₃₄   = 60 .

Во-вторых, известны потребности клиентов:

X₁₁  + Х₂₁ + Х₃₁   = 50 ,

X₁₂  + Х₂₂ + Х₃₂   = 40 ,

X₁₃  + Х₂₃ + Х₃₃   = 70 ,

X₁₄  + Х₂₄ + Х₃₄   = 40 .

Итак, всего 7 ограничений типа равенств. Кроме того, все переменные неотрицательны - еще 12 ограничений.

Целевая функция - издержки по перевозке, которые необходимо минимизировать:

F = 2X₁₁  + 5Х₁₂  + 4Х₁₃  + 5Х₁₄  + X₂₁  + 2Х₂₂  + Х₂₃  + 4Х₂₄  +  +3X₃₁  + Х₃₂  + 5Х₃₃  + 2Х₃₄  → min .

Рассматриваются также различные варианты транспортной задачи. Например, если доставка производится вагонами, то объемы поставок должны быть кратны вместимости вагона.

Количество переменных и ограничений в транспортной задаче таково, что для ее решения не обойтись без компьютера и соответствующего программного продукта.