Среди оптимизационных задач в теории принятия решений наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами. Начнем с примера (см. [2]).

Производственная  задача. Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола - 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человеко-часов, стол - 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула - 45 долларов США, при производстве стола - 80 долларов США. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?

Обозначим:   Х₁ - число изготовленных стульев, Х₂ - число сделанных столов. Задача оптимизации имеет вид:

45 Х₁ + 80 Х₂  → max ,

5 Х₁ + 20 Х₂  ≤ 400 ,

10 Х₁ + 15 Х₂  ≤ 450 ,

Х₁   ≥ 0 ,

Х₂  ≥ 0 .

В первой строке выписана целевая функция - прибыль при выпуске Х₁ стульев и Х₂ столов. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных Х₁  и Х₂ . При этом должны быть выполнены ограничения по материалу (вторая строчка) - истрачено не более 400 футов красного дерева. А также и ограничения по труду (третья строчка) - затрачено не более 450 часов. Кроме того, нельзя забывать, что число столов и число стульев неотрицательны. Если Х₁ = 0, то это значит, что стулья не выпускаются. Если же хоть один стул сделан, то Х₁ положительно. Но невозможно представить себе отрицательный выпуск - Х₁  не может быть отрицательным с экономической точки зрения, хотя с математической точки зрения такого ограничения усмотреть нельзя. В четвертой и пятой строчках задачи и констатируется, что переменные неотрицательны.

Условия производственной задачи можно изобразить на координатной плоскости. Будем по горизонтальной оси абсцисс откладывать значения Х₁ , а по вертикальной оси ординат - значения Х₂ . Тогда ограничения по материалу и последние две строчки оптимизационной задачи выделяют возможные значения (Х_{1 ,} Х₂) объемов выпуска в виде треугольника (рис.1).

Таким образом, ограничения по материалу изображаются в виде выпуклого многоугольника, конкретно, треугольника. Этот треугольник получается путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей второй строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х₁, соответствующую стульям, в точке (80,0). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление стульев, то будет изготовлено 80 стульев. Та же прямая пересекает ось Х₂, соответствующую столам, в точке (0,20). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление столов, то будет изготовлено 20 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, а не равенство - материал останется.

Аналогичным образом можно изобразить и ограничения по труду (рис.2).

Таким образом, ограничения по труду также изображаются в виде  треугольника. Этот треугольник также получается путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей третьей строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х₁, соответствующую стульям, в точке (45,0). Это означает, что если все трудовые ресурсы пустить на изготовление стульев, то будет сделано 45 стульев. Та же прямая пересекает ось Х₂, соответствующую столам, в точке (0,30). Это означает, что если всех рабочих поставить на изготовление столов, то будет сделано 30 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, а не равенство - часть рабочих будет простаивать.

Мы видим, что очевидного решения нет - для изготовления 80 стульев есть материал, но не хватает рабочих рук, а для производства 30 столов есть рабочая сила, но нет материала, Значит,  надо изготавливать и то, и другое. Но в каком соотношении?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо "совместить" рис.1 и рис.2, получив область возможных решений, а затем проследить, какие значения принимает целевая функция на этом множестве (рис.3).

Таким образом, множество возможных значений объемов выпуска стульев и столов  (Х₁ , Х₂ ), или, в других терминах, множество А, задающее ограничения на параметр управления в общей оптимизационной задаче, представляет собой пересечение двух треугольников, т.е. выпуклый четырехугольник, показанный на рис.3.  Три его вершины очевидны - это (0,0), (45,0) и (0,20). Четвертая - это пересечение двух прямых - границ треугольников на рис.1 и рис.2, т.е. решение системы уравнений      

5 Х₁ + 20 Х₂  = 400 ,

10 Х₁ + 15 Х₂  = 450 .

Из первого уравнения: 5 Х₁  = 400 - 20 Х₂ , Х₁  = 80 - 4 Х₂ . Подставляем во второе уравнение: 10 (80 - 4 Х₂) + 15 Х₂  = 800  - 40Х₂  + 15 Х₂   = 800 - 25 Х₂ = 450, следовательно, 25 Х₂ = 350,   Х₂  = 14, откуда  Х₁ = 80 - 4 х 14 = 80 -56 = 24. Итак, четвертая вершина четырехугольника - это (24, 14). 

Надо найти максимум линейной функции на выпуклом многоугольнике. (В общем случае линейного программирования - максимум линейной функции на выпуклом многограннике, лежащем в конечномерном линейном пространстве.) Основная идея линейного программирования состоит в том, что максимум  достигается  в вершинах многоугольника. В общем случае - в одной вершине, и это - единственная точка максимума. В частном - в двух, и тогда отрезок, их соединяющий, тоже состоит из точек максимума.

Целевая функция 45 Х₁ + 80 Х₂  принимает минимальное значение, равное 0,  в вершине (0,0). При увеличении аргументов эта функция увеличивается. В вершине (24,14) она принимает значение 2200. При этом прямая 45 Х₁ + 80 Х₂  = 2200 проходит между прямыми ограничений 5 Х₁ + 20 Х₂  = 400 и 10 Х₁ + 15 Х₂  = 450, пересекающимися в той же точке. Отсюда, как и из непосредственной проверки двух оставшихся вершин, вытекает, что максимум целевой функции, равный 2200, достигается в вершине (24,14).

Таким образом, оптимальный выпуск таков: 24 стула и 14 столов. При этом используется весь материал и все трудовые ресурсы, а прибыль равна 2200 долларам США.

Двойственная задача. Каждой задаче линейного программирования соответствует так называемая двойственная задача. В ней по сравнению с исходной задачей строки переходят в столбцы, неравенства меняют знак, вместо максимума ищется минимум (или наоборот, вместо минимума -  максимум). Задача, двойственная к двойственной - эта сама исходная задача. Сравним исходную задачу (слева) и двойственную к ней (справа):

45 Х₁ + 80 Х₂  → max ,             400 W₁ + 450 W₂ →  min ,

5 Х₁ + 20 Х₂  ≤ 400 ,                 5 W₁ + 10 W₂ ≥ 45,

10 Х₁ + 15 Х₂  ≤ 450 ,               20 W₁ + 15 W₂ ≥ 80, 

Х₁   ≥ 0 ,                                   W₁ ≥  0,

Х₂  ≥ 0 .                                   W₂ ≥  0.

Почему двойственная задача столь важна? Можно доказать, что оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают (т.е. максимум в исходной задаче совпадает с минимумом в двойственной). При этом оптимальные значения W₁ и W₂ показывают стоимость материала и труда соответственно, если их оценивать по вкладу в целевую функцию. Чтобы не путать с рыночными ценами этих факторов производства, W₁ и W₂  называют "объективно обусловленными оценками" сырья и рабочей силы.

Линейное программирование как научно-практическая дисциплина. Из всех задач оптимизации задачи линейного программирования выделяются тем, что в них ограничения - системы линейных неравенств или равенств. Ограничения задают выпуклые линейные многогранники в конечном линейном пространстве. Целевые функции также линейны.

Впервые такие задачи решались советским математиком Л.В. Канторовичем (1912-1986) в 1930-х годах как задачи производственного менеджмента с целью оптимизации организации производства и производственных процессов, например, процессов загрузки станков и раскройки листов материалов. После второй мировой войны аналогичными задачами занялись в США. В 1975 г. Т. Купманс (1910-1985, родился в Нидерландах, работал в основном в США) и академик АН СССР Л.В. Канторович были награждены Нобелевскими премиями по экономике.

Рассмотрим несколько задач линейного программирования.

Задача об оптимизации смеси (упрощенный вариант). На химическом комбинате для оптимизации технологического процесса надо составить самую дешевую смесь, содержащую необходимое количество определенных веществ (обозначим их Т и Н). Энергетическая ценность смеси (в калориях) должна быть не менее заданной. Пусть для простоты смесь составляется из двух компонентов - К и С.  Сколько каждого из них взять для включения в смесь? Исходные данные для расчетов приведены в табл.3.

Табл.3. Исходные данные в задаче об оптимизации смеси.

	Содержание в 1 унции К	Содержание в 1 унции С	Потребность
Вещество Т	0,10 мг	0,25 мг	1,00 мг
Вещество Н	1,00 мг	0,25 мг	5,00 мг
Калории	110,00	120,00	400,00
Стоимость 1 унции, в центах	3,8	4,2

Задача линейного программирования имеет вид:

3,8 К + 4,2 С →  min ,

0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00 ,

1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00 ,

110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00 ,

К ≥ 0 ,

С ≥ 0 .

Ее графическое решение представлено на рис.4.

Рис.4. Графическое решение задачи об оптимизации смеси.

На рис.4 ради облегчения восприятия четыре прямые обозначены номерами (1) - (4). Прямая (1) - это прямая 1,00К + 0,25С = 5,00 (ограничение по веществу Н). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (5,0) на оси абсцисс и (0,20) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К, С) лежат выше прямой (1), в отличие от ранее рассмотренных случаев в предыдущей производственной задаче.

Прямая (2) - это прямая 110,00 К + 120,00 С = 400,00 (ограничение по калориям). Обратим внимание, что в области неотрицательных С она расположена всюду ниже прямой (1). Действительно, это верно при К=0, прямая (1) проходит через точку (0,20), а прямая (2) - через точку (0, 400/120). Точка пересечения двух прямых находится при решении системы уравнений

1,00 К + 0,25 С = 5,00 ,

110,00 К + 120,00 С =  400,00 .

Из первого уравнения К = 5 - 0,25 С. Подставим во второе: 110 (5- 0,25 С) + 120 С = 400, откуда 550 - 27,5 С + 120 С = 400. Следовательно, 150 = - 92,5 С, т.е. решение достигается при отрицательном С. Это и означает, что при всех положительных С прямая (2) лежит ниже прямой (1). Значит, если выполнено ограничения по Н, то обязательно выполнено и ограничение по калориям. Мы столкнулись с новым явлением - некоторые ограничения с математической точки зрения могут оказаться лишними. С экономической точки зрения они необходимы, отражают существенные черты постановки задачи, но в данном случае внутренняя структура задачи оказалась такова, что ограничение по калориям не участвует в формировании допустимой области параметров и нахождении решения.

Прямая (4) - это прямая 0,1 К + 0,25 С = 1 (ограничение по веществу Т). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (10,0) на оси абсцисс и (0,4) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К,С) лежат выше прямой (4), как и для прямой (1). 

Следовательно, область допустимых значений параметров (К, С) является неограниченной сверху. Из всей плоскости она выделяется осями координат (лежит в первом квадранте) и прямыми (1) и (4) (лежит выше этих прямых). Область допустимых значений параметров (К, С) можно назвать "неограниченным многоугольником". Минимум целевой функции 3,8 К + 4,2 С может достигаться только в вершинах этого "многоугольника".  Вершин всего три. Это пересечения с осями абсцисс (10,0) и ординат (0,20) прямых (1) и (4)  (в каждом случае из двух пересечений берется то, которое удовлетворяет обоим ограничениям). Третья вершина - это точка пересечения прямых (1) и (4), координаты которой находятся при решении системы уравнений

0,10 К + 0,25 С = 1,00 ,

1,00 К + 0,25 С = 5,00 .

Из второго уравнения К = 5 - 0,25 С, из первого 0,10 (5 - 0,25 С) + 0,25 С = 0,5 - 0,025 С + 0,25 С = 0,5 + 0,225 С = 1, откуда С = 0,5/0,225 = 20/9 и К = 5 - 5/9 = 40/9. Итак, А  = (40/9; 20/9).

Прямая (3) на рис.4 - это прямая, соответствующая целевой функции 3,8 К + 4,2 С . Она проходит между прямыми (1) и (4), задающими ограничения, и минимум достигается в точке А, через которую и проходит прямая (3). Следовательно, минимум равен 3,8х40/9 + 4,2х20/9 =  236/9. Задача об оптимизации смеси полностью решена.

Двойственная задача, построенная по описанным выше правилам, имеет приведенный ниже вид (мы повторяем здесь и исходную задачу  об оптимизации смеси, чтобы наглядно продемонстрировать технологию построения двойственной задачи):

3,8 К + 4,2 С →  min ,                       W₁ + 5 W₂ + 400 W₃ →  max ,  

0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00 ,                     0,1 W₁ + 1,10 W₂ + 110 W₃ ≤ 3,8 ,

1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00 ,                     0,25W₁ + 0,25 W₂ + 120 W₃ ≤ 4,2 ,

110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00 ,          W₁ ≥ 0 ,

К ≥ 0 ,                                               W₂ ≥ 0 ,

С ≥ 0 .                                               W₃ ≥ 0 .

Минимальное значение в прямой задаче, как и должно быть, равно максимальному значению в двойственной задаче, т.е. оба числа равны 236/9. Интерпретация двойственных переменных:  W₁ - "стоимость" единицы вещества Т, а W₂ - "стоимость" единицы вещества Н, измеренные "по их вкладу" в целевую функцию. При этом W₃ = 0, поскольку ограничение на число калорий никак не участвует в формировании оптимального решения.  Итак,  W₁ ,  W₂ , W₃ - это т.н. объективно обусловленные оценки (по Л.В. Канторовичу) ресурсов (веществ Т и Н, калорий).

          Планирование номенклатуры и объемов выпуска. Вернемся к организации производства. Предприятие может выпускать автоматические кухни (вид кастрюль), кофеварки и самовары. В табл.4 приведены данные о производственных мощностях, имеющихся на предприятии (в штуках изделий).

Табл.4. Производственные мощности (в шт.)

При этом штамповка и отделка проводятся на одном и том же оборудовании. Оно позволяет штамповать за заданное время или 20000 кухонь, либо 30000 кофеварок, либо и то, и другое, не в меньшем количестве.  А вот сборка проводится на отдельных участках.

Задача линейного программирования имеет вид:

Х₁   ≥ 0 , Х₂  ≥ 0 , Х₃  ≥ 0 ,                           (0)

Х₁   / 200  + Х₂  / 300 + Х₃  / 120 ≤ 100 ,        (1)

Х₁   / 300  + Х₂  / 100 + Х₃  / 100 ≤ 100 ,        (2)

Х₁ / 200 ≤ 100 ,                                            (3)

Х₂ / 120 ≤ 100 ,                                           (4)

Х₃ / 80 ≤ 100 ,                                            (5)

F = 15 Х₁ + 12 Х₂  + 14 Х₃ → max .

Здесь:
(0) - обычное в экономике условие неотрицательности переменных,
(1) - ограничение по возможностям штамповки (выраженное для облегчения восприятия в процентах),
(2) - ограничение по возможностям отделки,
(3) - ограничение по сборке для кухонь,
(4) - то же для кофемолок,
(5) - то же для самоваров (как уже говорилось, все три вида изделий собираются на отдельных линиях).

Наконец, целевая функция F - общая прибыль предприятия.

Заметим, что неравенство (3) вытекает из неравенства (1), а неравенство (4) - из (2). Поэтому неравенства (3) и (4) можно сразу отбросить.  

Отметим сразу любопытный факт. Как будет установлено, в оптимальном плане Х₃ = 0, т.е. самовары выпускать невыгодно.