А.И.
Орлов
Математика случая
Вероятность и статистика – основные факты
Учебное пособие. М.: МЗ-Пресс, 2004.
Предыдущая |
5. Основные проблемы прикладной статистики - описание данных, оценивание и проверка гипотез
Уровень значимости и мощность
При проверке статистической гипотезы возможны ошибки. Есть два рода ошибок. Ошибка первого рода заключается в том, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза неверна.
Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается α. Таким образом, α = P{UΨ | H0}, т.е. уровень значимости α – это вероятность события {UΨ}, вычисленная в предположении, что верна нулевая гипотеза Н0.
Уровень значимости однозначно определен, если Н0 – простая гипотеза. Если же Н0 – сложная гипотеза, то уровень значимости, вообще говоря, зависит от функции распределения результатов наблюдений, удовлетворяющей Н0. Статистику критерия U обычно строят так, чтобы вероятность события {UΨ} не зависела от того, какое именно распределение (из удовлетворяющих нулевой гипотезе Н0) имеют результаты наблюдений. Для статистик критерия U общего вида под уровнем значимости понимают максимально возможную ошибку первого рода. Максимум (точнее, супремум) берется по всем возможным распределениям, удовлетворяющим нулевой гипотезе Н0, т.е. α = sup P{UΨ | H0}.
Если критическая область имеет вид, указанный в формуле (9), то
P{U > C | H0} = α. (10)
Если С задано, то из последнего соотношения определяют α. Часто поступают по иному - задавая α (обычно α = 0,05, иногда α = 0,01 или α = 0,1, другие значения α используются гораздо реже), определяют С из уравнения (10), обозначая его Сα, и используют критическую область Ψ = {U > Cα} с заданным уровнем значимости α.
Вероятность ошибки второго рода есть P{UΨ | H1}. Обычно используют не эту вероятность, а ее дополнение до 1, т.е. P{UΨ | H1} = 1 - P{UΨ | H1}. Эта величина носит название мощности критерия. Итак, мощность критерия – это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда альтернативная гипотеза верна.
Понятия уровня значимости и мощности критерия объединяются в понятии функции мощности критерия – функции, определяющей вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Функция мощности зависит от критической области Ψ и действительного распределения результатов наблюдений. В параметрической задаче проверки гипотез распределение результатов наблюдений задается параметром θ. В этом случае функция мощности обозначается М(Ψ,θ) и зависит от критической области Ψ и действительного значения исследуемого параметра θ. Если
Н0: θ = θ0,
Н1: θ = θ1,
то
М(Ψ,θ0) = α,
М(Ψ,θ1) = 1 – β,
где α – вероятность ошибки первого рода, β - вероятность ошибки второго рода. В статистическом приемочном контроле α – риск изготовителя, β – риск потребителя. При статистическом регулировании технологического процесса α – риск излишней наладки, β – риск незамеченной разладки.
Функция мощности М(Ψ,θ) в случае одномерного параметра θ обычно достигает минимума, равного α, при θ = θ0, монотонно возрастает при удалении от θ0 и приближается к 1 при | θ - θ0 | → ∞.
В ряде вероятностно-статистических методов принятия решений используется оперативная характеристика L(Ψ,θ) - вероятность принятия нулевой гипотезы в зависимости от критической области Ψ и действительного значения исследуемого параметра θ. Ясно, что
L(Ψ,θ) = 1 - М(Ψ,θ).
Предыдущая |