Орлов А.И.
Прикладная статистика
М.: Издательство «Экзамен», 2004.
Предыдущая |
Часть 3. Методы прикладной статистики
3.3. Статистика временных рядов
3.3.4. Моделирование и анализ многомерных временных рядов
Рассмотрим методы моделирования и анализа многомерных временных рядов, используемых для изучения реальных процессов взаимовлияния факторов на основе подхода ЖОК, описанного в предыдущем подразделе.
Основные сведения о системе ЖОК. Компьютерная система ЖОК – это система поддержки анализа и управления в сложных ситуациях[1], описываемых многомерными временными рядами. Она предназначена для структуризации и анализа сложных, трудно формализуемых, слабо структурированных задач различной природы (экономической, управленческой, прогностической, технической, медицинской, социально-политической, экологической и пр.). Она применяется для построения моделей ситуаций на основе описания влияний факторов. Это делается с помощью ориентированных графов и использования оценок экспертов с последующим определением наиболее эффективных управленческих решений. Компьютерная система ЖОК:
- поддерживает аналитическое обоснование подходов к решению исследуемых проблем;
- позволяет спрогнозировать развитие моделируемой реальной системы; оценить результаты целенаправленного изменения тех или иных факторов;
- дает возможность выработать условия для целенаправленного поведения в исследуемой ситуации;
- обеспечивает возможность решения прямых и обратных задач управления.
Для построения модели изучаемого явления или процесса компьютерная система ЖОК предусматривает выделение основных факторов, описывающих реальную ситуацию, и установление непосредственных взаимосвязей между факторами в виде построения ориентированного взвешенного графа. Опосредованные взаимовлияния и итоговое стационарное состояние рассчитываются по описанным ниже алгоритмам. Система позволяет анализировать три основных типа сценариев:
сценарий “Прогноз”, позволяющий проследить “естественное” развитие моделируемой системы при отсутствии активных воздействий;
сценарий типа “Активный”, при котором работающий с системой специалист изменяет значения тех или иных параметров и анализирует получающуюся динамику и итоговое состояние (например, с целью ручного поиска рационального управления);
сценарий типа “Цель”, когда компьютерная система по заданной цели управления (например, значения определенных параметров должны быть не менее заданных) находит оптимальные воздействия путем решения соответствующей задачи оптимизации. В частности, проводит анализ принципиальной достижимости указанной цели из текущего состояния с использованием выбранных мероприятий (управлений).
Ядром компьютерной системы ЖОК является описанная ниже математическая модель. Преобразование задач анализа реальных явлений и процессов к математической постановке, оценка адекватности реальности и ее модели, процесс выбора управлений, процесс сравнительного анализа различных ситуаций в целом, моделирования и последующей интерпретации результатов математического моделирования относится к области “ручного труда” специалиста в соответствующей области знания и полной автоматизации, как правило, не поддается.
Компьютерная система ЖОК обеспечивает расчет равновесного (стационарного) состояния, к которому будет стремиться система взаимовлияющих факторов, и всех промежуточных состояний на пути от начального состояния к равновесному. В систему включены три варианта расчетов:
- расчет равновесного состояния без управления (учитываются только начальные данные);
- расчет равновесного состояния с управлением импульсного типа (при t = 0). (В такой модели система интерпретирует импульсное управление, как поправку к начальным данным.);
- расчет величины управления по заданным значениям величины приращения целевых факторов.
Математические алгоритмы исследовательской системы ЖОК. Используются следующие обозначения:
n - количество вершин в ориентированном графе G модели, т.е. число используемых в модели факторов;
- матрица порядка nЧn непосредственных влияний факторов
(матрица смежности графа G);
-
матрица, транспонированная к матрице
(называемая матрицей непосредственных
контрвлияний факторов);
t – время, принимающее дискретные значения 0, 1, 2, 3, …
вектор , t = 0, 1, 2,
3, …, - вектор изменений (приращений,
дифференциалов) факторов в момент дискретного времени t;
вектор , t = 0, 1, 2,
3, …, является вектором дифференциалов факторов второго порядка в момент дискретного времени t;
вектор обозначает
величины предельных стационарных изменений (дифференциалов) факторов при
безграничном росте t. Очевидно,
что если
существует, то
);
вектор
|

вектор обозначает сравнительную важность факторов
,
задаваемую экспертным путем;
вектор обозначает отношение составителя модели к
направлению изменения величин факторов
(+1 – рост значения фактора оценивается
положительно, (-1) – отрицательно, 0 – нейтрально);
-
единичная n´n матрица (на главной диагонали стоят 1, на остальных
позициях – 0);
- прореженная единичная n´n матрица,
в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые
соответствуют целевым факторам. Очевидно, что
является проектором на координатную плоскость
целевых факторов, и следовательно
,
матрица
является псевдообратной к матрице
;
- прореженная единичная n´n
матрица, в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые
соответствуют управляющим факторам. Очевидно, что
является проектором на координатную плоскость
управляющих факторов, и, следовательно
, матрица
является псевдообратной к матрице
;
- резольвента, где
- множитель-стабилизатор, который используется
в целях обеспечения достаточно устойчивой и быстрой сходимости итерационного
процесса приближенного вычисления матрицы резольвентного оператора
,
где p
достаточно велико. Полагают в том случае, если собственные числа матрицы
достаточно малы (обычно принимается, что
должна иметь собственные числа не только
меньше единицы, но и меньше 0.9). Поскольку стабилизатор
имеет лишь внутриматематический смысл и не
используется при построении модели и интерпретации результатов расчетов, то в
дальнейшем его не будем упоминать, предполагая по умолчанию
.
Система уравнений в математико-статистической модели. Для описания динамики факторов в компьютерной системе ЖОК используется математико-статистическая модель в виде системы линейных конечноразностных рекуррентных уравнений на трехточечном шаблоне {t-1, t, t+1} следующего вида:
(1),
с начальными условиями
(2),
где i = 1, 2, ... , n , t = 0, 1, 2, ...
Для рекуррентного уравнения на
трехточечном шаблоне необходимо задать начальные условия при t = 0 () и t = 1 (
).
Следовательно, первым уравнением цепочки рекуррентных уравнений (1) будет
уравнение при t = 1.
При t = 1 уравнение полагается определенным и имеет вид
Для t = 0 уравнение определяется посредством соотношения
(3),
и
тогда недостающие начальные данные вычисляются из уравнения
(4)
Заметим, что
доопределение начальных данных нулем - всего
лишь один из способов. В частности, если положить
, то
результаты вычислений будут другими.
Из уравнений (1) видно, что используемая модель предполагает, что за один шаг дискретного времени (Dt = 1) происходит распространение влияния факторов-аргументов только на непосредственно от них зависящие факторы-функции. Времени можно придать содержательный смысл, если за шаг принять реальный интервал времени, необходимый для осуществления непосредственного влияния одного фактора на другой. Этот интервал может быть оценен экспертно, В ряде случаев его можно принять равным кварталу.
Уравнение (1) - (2) в векторной форме имеет вид
(5)
,
(6)
где t = 0, 1, 2, ... Решение задачи (5)-(6) определяются формулой
(7).
Стационарное состояние и начальные
условия. Стационарное
состояние вычисляется приближенно при
. Для
практических расчетов достаточно принять, что
.
|
(8)
, (9)
где t = 0, 1, 2, ... Решение уравнения (8) – (9) имеет вид
(10).
Если просуммировать уравнения (8) при t = 0, 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)
(11),
откуда следует
(12)
Если же просуммировать уравнения (8) при t = 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)
, (13)
и соответственно
, (14),
откуда
видно, что при выборе начальных условий вида результат (14) отличается от (12).
В частности, при выборе режима
прогноза развития ситуации без управления и выборе начальных условий
,
которые выражают равенство нулю вторых производных от величин факторов при t = 0, из формулы (14) получим
. Это
означает, что никакого развития ситуации не происходит. Она продолжает
двигаться “равномерно и прямолинейно”, поскольку вторые дифференциалы факторов
равны нулю и первые дифференциалы факторов не изменяются во времени.
С другой стороны, формула (12) предполагает, что начальные данные оказывают такое же ударное воздействие в момент t = 0, как и внешнее импульсное при t = 0 управление, играющее роль (и имеющее “размерность”) “механической силы”.
Если предполагается использование
только импульсных управляющих воздействий при t = 0 и в дальнейшем
, то задача развития ситуации без
управления и с управлением не отличаются друг от друга, поскольку управление в
сущности играет роль поправки к начальным данным и, обратно, начальные
данные выполняют роль поправки к
управлению.
Режим поиска управления по целевым значениям факторов. Проекция стационарного решения (12) уравнения (8) - (9) на координатную плоскость целевых факторов может быть представлено в виде
,
где
,
,
или иначе
. (15).
Пусть - вектор значений дифференциалов целевых
факторов, тогда импульсное управление
определяется по формуле
, (16),
где “+” обозначает операцию псевдоинверсии, и матрица является псевдообратной к матрице
;
является результатом применения к вектору
операции
- ограничения числовых значений компонент
вектора
величинами +1 и -1 , если эти значения выходят
за пределы отрезка [-1; +1];
получается из
применением операции
- замены числовых значений
ближайшими к ним экстремальными на отрезке
[-1; +1] величинами +1 или -1 соответственно.
Тогда стационарные решения, получаемые с использованием этих управлений, вычисляются по формулам
,
.
Степени матрицы смежности графа G и опосредованные взаимовлияния факторов. Пусть вершина x1 влияет на вершину x2 с силой 0.5, вершина x2 влияет на x4 с силой 0.6, вершина x1 влияет на x3 с силой 0.8, вершина x3 влияет на x4 с силой 0.4. Тогда опосредованное суммарное влияние x1 на x4 имеет силу
0.5Ч0.6 + 0.8Ч0.4 = 0.62,
что равно сумме весов двух путей x1 → x2 → x4 и x1 → x3 → x4 из x1 в x4, веса которых равны соответственно 0.5Ч0.6 = 0.3 и 0.8Ч0.4 = 0.32. Суммарная сила влияния одного фактора на другой равна сумме весов всех маршрутов в ориентированном графе G, ведущих из одного фактора в другой. Вес пути (маршрута) определяется как произведение весов дуг составляющих этот путь (маршрут).
Если рассмотреть степени матрицы , то их
элементам можно придать вполне определенный смысл. Так, например, элемент
матрицы
с координатами (1,2) равен сумме весов
всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно две дуги, а в
сумме весов всех маршрутов из x1 в x2,
содержащих ровно три дуги и т.д. Таким образом, матрица
выражает суммарные опосредованные
влияния факторов друг на друга с учетом
рефлексивного (при m = 0) непосредственного влияния фактора на самое
себя с силой +1, а матрица
не
учитывает рефлексивного непосредственного влияния.
Матрица является матрицей контрвлияний факторов с
учетом рефлексивности, а матрица
- матрицей контрвлияний факторов без учета
рефлексивности.
Отдельный интерес представляет собой матрица знаков элементов матрицы
, т.е.
матрица направленности интегральных влияний фактора на фактор (или
контрвлияний, если рассмотреть матрицу
).
[1] Использованы разработки В.Н.Жихарева, выполненные в Институте высоких статистических технологий и эконометрики.
Предыдущая |