Часть 3. Методы прикладной статистики

3.3. Статистика временных рядов

3.3.4. Моделирование и анализ многомерных временных рядов

          Рассмотрим методы моделирования и анализа многомерных временных рядов, используемых для изучения реальных процессов взаимовлияния факторов на основе подхода ЖОК, описанного в предыдущем подразделе.

          Основные сведения о системе ЖОК. Компьютерная система  ЖОК – это система поддержки анализа и управления в сложных ситуациях^[1], описываемых многомерными временными рядами. Она предназначена для структуризации и анализа сложных, трудно формализуемых, слабо структурированных задач различной природы (экономической, управленческой, прогностической, технической, медицинской, социально-политической, экологической и пр.). Она применяется для построения моделей ситуаций на основе описания влияний факторов. Это делается с помощью ориентированных графов и использования оценок экспертов с последующим определением наиболее эффективных управленческих решений. Компьютерная система ЖОК:

-                                 поддерживает аналитическое обоснование подходов к решению исследуемых проблем;

-                                 позволяет спрогнозировать развитие моделируемой реальной системы; оценить результаты целенаправленного изменения тех или иных факторов;

-                              дает возможность выработать условия для целенаправленного поведения в исследуемой ситуации;

-                                 обеспечивает возможность решения прямых и обратных задач управления.

          Для построения модели изучаемого явления или процесса компьютерная система ЖОК предусматривает выделение основных факторов, описывающих реальную ситуацию, и установление непосредственных взаимосвязей между факторами в виде построения ориентированного взвешенного графа. Опосредованные взаимовлияния и итоговое стационарное состояние рассчитываются по описанным ниже алгоритмам. Система позволяет анализировать три основных типа сценариев:

          сценарий “Прогноз”, позволяющий проследить “естественное” развитие моделируемой системы при отсутствии активных воздействий;

           сценарий типа “Активный”, при котором работающий с системой специалист изменяет значения тех или иных параметров и анализирует получающуюся динамику и итоговое состояние (например, с целью ручного поиска рационального управления);

          сценарий типа “Цель”, когда компьютерная система по заданной цели управления (например, значения определенных параметров должны быть не менее заданных) находит оптимальные воздействия путем решения соответствующей задачи оптимизации. В частности, проводит анализ принципиальной достижимости указанной цели из текущего состояния с использованием выбранных мероприятий (управлений).

Ядром компьютерной системы ЖОК является описанная ниже математическая модель. Преобразование задач анализа реальных явлений и процессов к математической постановке, оценка адекватности реальности и ее модели, процесс выбора управлений, процесс сравнительного анализа различных ситуаций в целом, моделирования и последующей интерпретации результатов математического моделирования относится к области “ручного труда” специалиста в соответствующей области знания и полной автоматизации, как правило, не поддается.

          Компьютерная система ЖОК обеспечивает расчет равновесного (стационарного) состояния, к которому будет стремиться система взаимовлияющих факторов, и всех промежуточных состояний на пути от начального состояния к равновесному. В систему включены три варианта расчетов:

- расчет равновесного состояния без управления (учитываются только начальные данные);

- расчет равновесного состояния с управлением импульсного типа (при t = 0). (В такой модели система интерпретирует импульсное управление, как поправку к начальным данным.);

- расчет величины управления по заданным значениям величины приращения целевых факторов.

          Математические алгоритмы исследовательской системы ЖОК. Используются следующие обозначения:

          n - количество вершин в ориентированном графе G модели, т.е. число используемых в модели факторов;

           - матрица порядка nЧn непосредственных влияний факторов (матрица смежности графа G);

          - матрица, транспонированная к матрице  (называемая матрицей непосредственных контрвлияний факторов);

          t – время, принимающее дискретные значения 0, 1, 2, 3, …

          вектор , t = 0, 1, 2, 3, …, - вектор изменений (приращений, дифференциалов) факторов в момент дискретного времени t;

          вектор , t = 0, 1, 2, 3, …, является вектором дифференциалов факторов второго порядка в момент дискретного времени t;

          вектор  обозначает величины предельных стационарных изменений (дифференциалов) факторов при безграничном росте t. Очевидно, что если  существует, то

);

          вектор  

обозначает внешние управляющие воздействия, подаваемые на фактор .в момент t;

          вектор  обозначает сравнительную важность факторов , задаваемую экспертным путем;

          вектор  обозначает отношение составителя модели к направлению изменения величин факторов  (+1 – рост значения фактора оценивается положительно, (-1) – отрицательно, 0 – нейтрально);

          - единичная n´n матрица (на главной диагонали стоят 1, на остальных позициях – 0);

           - прореженная единичная n´n матрица, в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые соответствуют целевым факторам. Очевидно, что  является проектором на координатную плоскость целевых факторов, и следовательно , матрица  является псевдообратной к матрице ;

           - прореженная единичная n´n матрица, в которой единицы стоят на диагонали только на тех позициях, которые соответствуют управляющим факторам. Очевидно, что  является проектором на координатную плоскость управляющих  факторов, и, следовательно , матрица  является псевдообратной к матрице ;

           - резольвента, где  - множитель-стабилизатор, который используется в целях обеспечения достаточно устойчивой и быстрой сходимости итерационного процесса приближенного вычисления матрицы резольвентного оператора

,

где p достаточно велико. Полагают  в том случае, если собственные числа матрицы  достаточно малы (обычно принимается, что  должна иметь собственные числа не только меньше единицы, но и меньше 0.9). Поскольку стабилизатор  имеет лишь внутриматематический смысл и не используется при построении модели и интерпретации результатов расчетов, то в дальнейшем его не будем упоминать, предполагая по умолчанию .

          Система уравнений в математико-статистической модели. Для описания динамики факторов в компьютерной системе ЖОК используется математико-статистическая модель в виде системы линейных конечноразностных рекуррентных уравнений на трехточечном шаблоне {t-1, t, t+1} следующего вида:

             (1),

с начальными условиями

                   (2),

где i = 1, 2, ... , n , t = 0, 1, 2, ...

          Для рекуррентного уравнения на трехточечном шаблоне необходимо задать начальные условия при t = 0 () и t = 1 (). Следовательно, первым уравнением цепочки рекуррентных уравнений (1) будет уравнение при t = 1.

          При t = 1  уравнение полагается определенным и имеет вид

Для t = 0  уравнение  определяется посредством соотношения

                      (3),

и тогда недостающие начальные данные  вычисляются из уравнения

        (4)

          Заметим, что доопределение начальных данных  нулем - всего лишь один из способов. В частности, если положить  , то результаты вычислений будут другими.

          Из уравнений (1) видно, что используемая модель предполагает, что за один шаг дискретного времени (Dt = 1) происходит распространение влияния факторов-аргументов только на непосредственно от них зависящие факторы-функции. Времени можно придать содержательный смысл, если за шаг принять реальный интервал времени, необходимый для осуществления непосредственного влияния одного фактора на другой. Этот интервал может быть оценен экспертно, В ряде случаев его можно принять равным кварталу.

          Уравнение (1) - (2) в векторной форме имеет вид

             (5)

,                               (6)

где t = 0, 1, 2, ... Решение задачи (5)-(6) определяются  формулой

         (7).

          Стационарное состояние и начальные условия. Стационарное состояние  вычисляется приближенно при . Для практических расчетов достаточно принять, что .

          Векторное уравнение (5) может быть представлено в виде уравнения для дифференциалов второго порядка:

            (8)

   ,         (9)

где t =  0, 1, 2, ... Решение уравнения (8) – (9) имеет вид

        (10).

Если просуммировать уравнения (8) при t = 0, 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)

         (11),

откуда следует

(12)

Если же просуммировать уравнения (8) при t = 1, 2, . . . , то получим (при условии сходимости)

,     (13)

и соответственно

,   (14),

откуда видно, что при выборе начальных условий вида  результат (14) отличается от (12).

          В частности, при выборе режима прогноза развития ситуации без управления  и выборе начальных условий , которые выражают равенство нулю вторых производных от величин факторов при t = 0, из формулы (14) получим . Это означает, что никакого развития ситуации не происходит. Она продолжает двигаться “равномерно и прямолинейно”, поскольку вторые дифференциалы факторов равны нулю и первые дифференциалы факторов не изменяются во времени.

          С другой стороны, формула (12) предполагает, что начальные данные оказывают такое же ударное воздействие в момент t = 0, как и внешнее импульсное при t = 0 управление, играющее роль (и имеющее “размерность”) “механической силы”.

          Если предполагается использование только импульсных управляющих воздействий  при t = 0  и в дальнейшем , то задача развития ситуации без управления и с управлением не отличаются друг от друга, поскольку управление в сущности играет роль поправки к начальным данным и, обратно, начальные данные  выполняют роль поправки к управлению.

          Режим поиска управления по целевым значениям факторов. Проекция стационарного решения (12) уравнения (8) - (9) на координатную плоскость целевых факторов может быть представлено в виде

,

где

, ,

или иначе

.         (15).

Пусть  - вектор значений дифференциалов целевых факторов, тогда импульсное управление  определяется по формуле

,   (16),

где “+”  обозначает операцию псевдоинверсии, и матрица  является псевдообратной к  матрице ;

           является результатом применения к вектору   операции   - ограничения числовых значений компонент вектора  величинами +1 и -1 , если эти значения выходят за пределы отрезка [-1; +1];

           получается из  применением операции  - замены числовых значений  ближайшими к ним экстремальными на отрезке [-1; +1] величинами +1 или -1 соответственно.

          Тогда стационарные решения, получаемые с использованием этих управлений, вычисляются по формулам

,

.

          Степени матрицы смежности графа G и опосредованные взаимовлияния факторов. Пусть вершина x1 влияет на вершину x2 с силой 0.5, вершина x2 влияет на x4 с силой 0.6, вершина x1 влияет на x3 с силой 0.8, вершина x3 влияет на x4 с силой 0.4. Тогда опосредованное суммарное влияние x1 на x4 имеет силу

0.5Ч0.6 + 0.8Ч0.4 = 0.62,

что равно сумме весов двух путей x1 → x2 → x4 и x1 → x3 → x4 из x1 в x4, веса которых равны соответственно 0.5Ч0.6 = 0.3 и  0.8Ч0.4 = 0.32. Суммарная сила влияния одного фактора на другой равна сумме весов всех маршрутов в ориентированном графе G, ведущих из одного фактора в другой. Вес пути (маршрута) определяется как произведение весов дуг составляющих этот путь (маршрут).

          Если рассмотреть степени матрицы  , то их элементам можно придать вполне определенный смысл. Так, например, элемент матрицы  с координатами (1,2) равен сумме весов всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно две дуги, а в  сумме весов всех маршрутов из x1 в x2, содержащих ровно три дуги и т.д. Таким образом, матрица    выражает суммарные опосредованные влияния  факторов друг на друга с учетом рефлексивного (при m = 0) непосредственного влияния фактора на самое себя с силой +1, а матрица не учитывает рефлексивного непосредственного влияния.

          Матрица    является матрицей контрвлияний факторов с учетом рефлексивности, а матрица 

 - матрицей контрвлияний факторов без учета рефлексивности.

          Отдельный интерес представляет собой матрица  знаков элементов матрицы , т.е. матрица направленности интегральных влияний фактора на фактор (или контрвлияний, если рассмотреть матрицу  ).

[1]  Использованы разработки В.Н.Жихарева, выполненные в Институте высоких статистических технологий и эконометрики.