Часть 3. Методы прикладной статистики

3.2. Многомерный статистический анализ

3.2.6. Методы снижения размерности

          В многомерном статистическом анализе каждый объект описывается вектором, размерность которого произвольна (но одна и та же для всех объектов). Однако человек может непосредственно воспринимать лишь числовые данные или точки на плоскости. Анализировать скопления точек в трехмерном пространстве уже гораздо труднее. Непосредственное восприятие данных более высокой размерности невозможно. Поэтому вполне естественным является желание перейти от многомерной выборки к данным небольшой размерности, чтобы «на них можно было посмотреть».

          Кроме стремления к наглядности, есть и другие мотивы для снижения размерности. Те факторы, от которых интересующая исследователя переменная не зависит, лишь мешают статистическому анализу. Во-первых, на сбор информации о них расходуются ресурсы. Во-вторых, как можно доказать, их включение в анализ ухудшает свойства статистических процедур (в частности, увеличивает дисперсию оценок параметров и характеристик распределений). Поэтому желательно избавиться от таких факторов.

          Обсудим с точки зрения снижения размерности пример использования регрессионного анализа для прогнозирования объема продаж, рассмотренный в подразделе 3.2.3. Во-первых, в этом примере удалось сократить число независимых переменных с 17 до 12. Во-вторых, удалось сконструировать новый фактор – линейную функцию от 12 упомянутых факторов, которая лучше всех иных линейных комбинаций факторов прогнозирует объем продаж. Поэтому можно сказать, что в результате размерность задачи уменьшилась с 18 до 2. А именно, остался один независимый фактор (приведенная в подразделе 3.2.3 линейная комбинация) и один зависимый – объем продаж.

          При анализе многомерных данных обычно рассматривают не одну, а множество задач, в частности, по-разному выбирая независимые и зависимые переменные. Поэтому рассмотрим задачу снижения размерности в следующей формулировке. Дана многомерная выборка. Требуется перейти от нее к совокупности векторов меньшей размерности, максимально сохранив структуру исходных данных, по возможности не теряя информации, содержащихся в данных. Задача конкретизируется в рамках каждого конкретного метода снижения размерности.

          Метод главных компонент является одним из наиболее часто используемых методов снижения размерности. Основная его идея состоит в последовательном выявлении направлений, в которых данные имеют наибольший разброс. Пусть выборка состоит из векторов, одинаково распределенных с вектором X = (x(1), x(2), … , x(n)). Рассмотрим линейные комбинации

Y(λ(1), λ(2), …, λ(n)) = λ(1)x(1) + λ(2)x(2) + … + λ(n)x(n),

где

λ²(1) + λ²(2) + …+ λ²(n) = 1.

Здесь вектор λ = (λ(1), λ(2), …, λ(n)) лежит на единичной сфере в n-мерном пространстве.

          В методе главных компонент прежде всего находят направление максимального разброса, т.е. такое λ, при котором достигает максимума дисперсия случайной величины Y(λ) = Y(λ(1), λ(2), …, λ(n)). Тогда вектор λ задает первую главную компоненту, а величина Y(λ) является проекцией случайного вектора Х на ось первой главной компоненты.

          Затем, выражаясь терминами линейной алгебры,  рассматривают гиперплоскость в n-мерном пространстве, перпендикулярную первой главной компоненте, и проектируют на эту гиперплоскость все элементы выборки. Размерность гиперплоскость на 1 меньше, чем размерность исходного пространства.

          В рассматриваемой гиперплоскости процедура повторяется. В ней находят направление наибольшего разброса, т.е. вторую главную компоненту. Затем выделяют гиперплоскость, перпендикулярную первым двум главным компонентам. Ее размерность на 2 меньше, чем размерность исходного пространства. Далее – следующая итерация.

          С точки зрения линейной алгебры речь идет о построении нового базиса в n-мерном пространстве, ортами которого служат главные компоненты.

           Дисперсия, соответствующая каждой новой главной компоненте, меньше, чем для предыдущей. Обычно останавливаются, когда она меньше заданного порога. Если отобрано k главных компонент, то это означает, что от n-мерного пространства удалось перейти к k-мерному, т.е. сократить размерность с n-до k, практически не исказив структуру исходных данных. 

          Для визуального анализа данных часто используют проекции исходных векторов на плоскость первых двух главных компонент. Обычно хорошо видна структура данных, выделяются компактные кластеры объектов и отдельно выделяющиеся вектора.

          Метод главных компонент является одним из методов факторного анализа [14]. Различные алгоритмы факторного анализа объединены тем, что во всех них происходит переход к новому базису в исходном n-мерном пространстве. Важным является понятие «нагрузка фактора», применяемое для описания роли исходного фактора (переменной) в формировании определенного вектора из нового базиса.

          Новая идея по сравнению с методом главных компонент состоит в том, что на основе нагрузок происходит разбиение факторов на группы. В одну группу объединяются факторы, имеющие сходное влияние на элементы нового базиса. Затем из каждой группы рекомендуется оставить одного представителя. Иногда вместо выбора представителя расчетным путем формируется новый фактор, являющийся центральным для рассматриваемой группы. Снижение размерности происходит при переходе к системе факторов, являющихся представителями групп. Остальные факторы отбрасываются.

          Описанная процедура может быть осуществлена не только с помощью факторного анализа. Речь идет о кластер-анализе признаков (факторов, переменных). Для разбиения признаков на группы можно применять различные алгоритмы кластер-анализа. Достаточно ввести расстояние (меру близости, показатель различия) между признаками. Пусть Х и У – два признака. Различие d(X,Y) между ними можно измерять с помощью выборочных коэффициентов корреляции:

d₁(X,Y) = 1 – r_n(X,Y),   d₂(X,Y) = 1 – ρ_n(X,Y),

где r_n(X,Y) – выборочный линейный коэффициент корреляции Пирсона, ρ_n(X,Y) – выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

          Многомерное шкалирование. На использовании расстояний (мер близости, показателей различия) d(X,Y) между признаками Х и У основан обширный класс методов многомерного шкалирования [15, 16]. Основная идея этого класса методов состоит в представлении каждого объекта точкой геометрического пространства (обычно размерности 1, 2 или 3), координатами которой служат значения скрытых (латентных) факторов, в совокупности достаточно адекватно описывающих объект. При этом отношения между объектами заменяются отношениями между точками – их представителями. Так, данные о сходстве объектов – расстояниями между точками, данные о превосходстве – взаимным расположением точек [17].

          В практике используется ряд различных моделей многомерного шкалирования. Во всех них встает проблема оценки истинной размерности факторного пространства. Рассмотрим эту проблему на примере обработки данных о сходстве объектов с помощью метрического шкалирования.

          Пусть имеется n объектов О(1), О(2), …, O(n), для каждой пары объектов О(i), O(j) задана мера их сходства s(i,j). Считаем, что всегда s(i,j) = s(j,i). Происхождение чисел s(i,j) не имеет значения для описания работы алгоритма. Они могли быть получены либо непосредственным измерением, либо с использованием экспертов, либо путем вычисления по совокупности описательных характеристик, либо как-то иначе.

          В евклидовом пространстве рассматриваемые n объектов должны быть представлены конфигурацией n точек, причем в качестве меры близости точек-представителей выступает евклидово расстояние d(i,j) между соответствующими точками. Степень соответствия между совокупностью объектов и совокупностью представляющих их точек определяется путем сопоставления матриц сходства ||s(i,j)|| и расстояний ||d(i,j)||. Метрический функционал сходства имеет вид

.

Геометрическую конфигурацию надо выбирать так, чтобы функционал S достигал своего наименьшего значения [17].

          Замечание. В неметрическом шкалировании вместо близости самих мер близости и расстояний рассматривается близость упорядочений на множестве мер близости и множестве соответствующих расстояний. Вместо функционала S используются аналоги ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кендалла. Другими словами, неметрическое шкалирование исходит из предположения, что меры близости измерены в порядковой шкале.

          Пусть евклидово пространство имеет размерность m. Рассмотрим минимум среднего квадрата ошибки

,

где минимум берется по всем возможным конфигурациям n точек в m-мерном евклидовом пространстве. Можно показать, что рассматриваемый минимум достигается на некоторой конфигурации. Ясно, что при росте m величина α_m монотонно убывает (точнее, не возрастает). Можно показать, что при  m > n – 1 она равна 0 (если s(i,j) – метрика). Для увеличения возможностей содержательной интерпретации желательно действовать в пространстве возможно меньшей размерности. При этом, однако, размерность необходимо выбрать так, чтобы точки представляли объекты без больших искажений. Возникает вопрос: как рационально выбирать размерность, т.е. натуральное число m?

          В рамках детерминированного анализа данных обоснованного ответа на этот вопрос, видимо, нет. Следовательно, необходимо изучить поведение α_m в тех или иных вероятностных моделях. Если меры близости s(i,j) являются случайными величинами, распределение которых зависит от «истинной размерности» m₀ (и, возможно, от каких-либо еще параметров), то можно в классическом математико-статистическом стиле ставить задачу оценки m₀, искать состоятельные оценки и т.д.

          Начнем строить вероятностные модели. Примем, что объекты представляют собой точки в евклидовом пространстве размерности k, где k достаточно велико. То, что «истинная размерность» равна m₀, означает, что все эти точки лежат на гиперплоскости размерности m₀. Примем для определенности, что совокупность рассматриваемых точек представляет собой выборку из кругового нормального распределения с дисперсией σ²(0). Это означает, что объекты О(1), О(2), …, O(n) являются независимыми в совокупности случайными векторами, каждый из которых строится как ζ(1)e(1) + ζ(2)e(2) + … + ζ(m₀)e(m₀), где e(1), e(2), … , e(m₀) – ортонормальный базис в подпространстве размерности m₀, в котором лежат рассматриваемые точки, а ζ(1), ζ(2), … , ζ(m₀) – независимые в совокупности одномерные нормальные случайные величины с математическим ожиданием ) и дисперсией σ²(0).

          Рассмотрим две модели получения мер близости s(i,j). В первой из них s(i,j) отличаются от евклидова расстояния между соответствующими точками из-за того, что точки известны с искажениями. Пусть с(1), с(2), … , с(n) – рассматриваемые точки. Тогда

s(i,j) = d(c(i) + ε(i), c(j) + ε(j)),  i,j = 1, 2, … , n,

где d – евклидово расстояние между точками в k-мерном пространстве, вектора ε(1), ε(2), … , ε(n) представляют собой выборку из кругового нормального распределения в k-мерном пространстве с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей σ²(1)I, где I – единичная матрица. Другими словами, ε(i) = η(1)e(1) + η(2)e(2) + … + η(k)e(k), где e(1), e(2), …, e(k) – ортонормальный базис в k-мерном пространстве, а {η(i,t), i = 1, 2, … , n, t = 1, 2, … , k} – совокупность независимых в совокупности одномерных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ²(1).

          Во второй модели искажения наложены непосредственно на сами расстояния:

s(i,j) = d(c(i), c(j)) + ε(i,j),  i,j = 1, 2, … , n, i ≠ j,

где {ε(i,j), i,j = 1, 2, … , n} – независимые в совокупности нормальные случайные величины с математическим ожиданием ) и дисперсией σ²(1).

          В работе [18] показано, что для обеих сформулированных моделей минимум среднего квадрата ошибки α_m  при n → ∞ сходится по вероятности к

f(m) = f₁(m) + σ²(1)(k – m),  m = 1, 2, …, k,

где

Таким образом, функция f(m) линейна на интервалах [1, m₀] и [m₀, k], причем на первом интервале она убывает быстрее, чем на втором. Отсюда следует, что статистика

является состоятельной оценкой истинной размерности m₀.

          Итак, из вероятностной теории вытекает рекомендация – в качестве оценки размерности факторного пространства использовать m*. Отметим, что подобная рекомендация была сформулировано как эвристическая одним из основателей многомерного шкалирования Дж. Краскалом [15]. Он исходил из опыта практического использования многомерного шкалирования и вычислительных экспериментов. Вероятностная теория позволила обосновать эту эвристическую рекомендацию.