Часть 3. Методы прикладной статистики

3.1. Статистический анализ числовых величин

3.1.2. Методы проверки однородности характеристик двух независимых выборок

         В прикладных исследованиях часто возникает необходимость выяснить, различаются ли генеральные совокупности, из которых взяты две независимые выборки. Например, надо выяснить, влияет ли способ упаковки подшипников на их потребительские качества через год после хранения. Или: отличается ли потребительское поведение мужчин и женщин. Если отличается – рекламные ролики и плакаты надо делать отдельно для мужчин и отдельно для женщин. Если нет – рекламная кампания может быть единой.

         В математико-статистических терминах постановка задачи такова: имеются две выборки x₁, x₂,...,x_m и y₁, y₂,...,y_n (т. е. наборы из m и п действительных чисел), требуется проверить их однородность. Термин «однородность» уточняется ниже.

         Противоположным понятием является «различие». Можно переформулировать задачу: требуется проверить, есть ли различие между выборками. Если различия нет, то для дальнейшего изучения две рассматриваемые выборки часто объединяют в одну.

         Например, в маркетинге важно выделить сегменты потребительского рынка. Если установлена однородность двух выборок, то возможно объединение сегментов, из которых они взяты, в один. В дальнейшем это позволит осуществлять по отношению к ним одинаковую маркетинговую политику (проводить одни и те же рекламные мероприятия и т.п.). Если же установлено различие, то поведение потребителей в двух сегментах различно, объединять эти сегменты нельзя, и могут понадобиться различные маркетинговые стратегии, своя для каждого из этих сегментов.

         Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента). Для дальнейшего критического разбора опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Вычисляют выборочные средние арифметические в каждой выборке

 ,

затем выборочные дисперсии

 , 

и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение,

  .    (1)

По заданному уровню значимости a и числу степеней свободы (m+n ^_ 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_кр. Если |t|>t_кр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t|<t_кр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t|>t_кр проверяют, что t>t_кр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой здесь.)

         Рассмотрим условия применимости традиционного метода проверки однородности, основанного на использовании статистики t Стьюдента, а также укажем более современные методы.

         Вероятностная модель порождения данных. Для обоснованного применения эконометрических методов необходимо прежде всего построить и обосновать вероятностную модель порождения данных. При проверке однородности двух выборок общепринята модель, в которой x₁, x₂,...,x_m рассматриваются как результаты m независимых наблюдений некоторой случайной величины Х с функцией распределения F(x), неизвестной статистику, а y₁, y₂,...,y_n - как результаты п независимых наблюдений, вообще говоря, другой случайной величины Y с функцией распределения G(x), также неизвестной статистику. Предполагается также, что наблюдения в одной выборке не зависят от наблюдений в другой, поэтому выборки и называют независимыми.

          Возможность применения модели в конкретной реальной ситуации требует обоснования. Независимость и одинаковая распределенность результатов наблюдений, входящих в выборку, могут быть установлены или исходя из методики проведения конкретных наблюдений, или путем проверки статистических гипотез независимости и одинаковой распределенности с помощью соответствующих критериев [1].

          Если проведено (т+п) измерений объемов продаж в (т+п) торговых точках, то описанную выше модель, как правило, можно применять. Если же, например, x_i и y_i - объемы продаж одного и того же товара до и после определенного рекламного воздействия, то рассматриваемую модель применять нельзя. В последнем случае используют модель связанных выборок. В ней обычно строят новую выборку z_i = x_i - y_i и используют статистические методы анализа одной выборки, а не двух. Методы проверка однородности для связанных выборок рассматривается в разделе 3.1.6.

          При дальнейшем изложении принимаем описанную выше вероятностную модель двух выборок.

          Уточнения понятия однородности. Понятие «однородность», т. е. «отсутствие различия», может быть формализовано в терминах вероятностной модели различными способами.

          Наивысшая степень однородности достигается, если обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, т. е. справедлива нулевая гипотеза

H_{0 :} F(x)=G(x) при всех х.

Отсутствие однородности означает, что верна альтернативная гипотеза, согласно которой

H_{1 :} F(x₀)¹G(x₀)

хотя бы при одном значении аргумента x₀. Если гипотеза H₀  принята, то выборки можно объединить в одну, если нет - то нельзя.

          В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y - математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза

H'_{0 :} M(X)=M(Y),

где M(Х) и M(Y) - математические ожидания случайных величин Х и Y, результаты наблюдений над которыми составляют первую и вторую выборки соответственно. Доказательство различия между выборками в рассматриваемом случае - это доказательство справедливости альтернативной гипотезы 

H'_{1 :} M(X) ¹ M(Y .

          Если гипотеза H₀  верна, то и гипотеза H'₀ верна, но из справедливости H'₀ , вообще говоря, не следует справедливость H₀. Математические ожидания могут совпадать для различающихся между собой функций распределения. В частности, если в результате обработки выборочных данных принята гипотеза H'₀, то отсюда не следует, что две выборки можно объединить в одну. Однако в ряде ситуаций целесообразна проверка именно гипотезы H'_{0 .}  Например, пусть функция спроса на определенный товар или услугу оценивается путем опроса потребителей (первая выборка) или с помощью данных о продажах (вторая выборка). Тогда маркетологу важно проверить гипотезу об отсутствии систематических расхождений результатов этих двух методов, т.е. гипотезу о равенстве математических ожиданий. Другой пример – из производственного менеджмента. Пусть изучается эффективность управления бригадами рабочих на предприятии с помощью двух организационных схем, результаты наблюдения - объем производства на одного члена бригады, а показатель эффективности организационной схемы - средний (по предприятию) объем производства на одного рабочего. Тогда для сравнения эффективности препаратов достаточно проверить гипотезу H'₀ .

          Классические условия применимости критерия Стьюдента. Согласно математико-статистической теории должны быть выполнены два классических условия применимости критерия Стьюдента, основанного на использовании статистики t, заданной формулой (1):

         а) результаты наблюдений имеют нормальные распределения:

F(x)=N(x; m₁, s₁²), G(x)=N(x; m₂, s₂²)

с математическими ожиданиями m₁ и m₂ и дисперсиями s₁² и s₂² в первой и во второй выборках соответственно;

         б) дисперсии результатов наблюдений в первой и второй выборках совпадают:

D(X)=s₁²=D(Y)=s₂².

          Если условия а) и б) выполнены, то нормальные распределения F(x) и G(x) отличаются только математическими ожиданиями, а поэтому обе гипотезы H₀  и H'₀  сводятся к гипотезе

H"₀ : m₁=m₂, ,

а обе альтернативные гипотезы H₁ и H'₁ сводятся к гипотезе

H"₁ : m₁¹m₂, .

          Если условия а) и б) выполнены, то статистика t при справедливости H"₀ имеет распределение Стьюдента с (т + п - 2) степенями свободы. Только в этом случае описанный выше традиционный метод обоснован безупречно. Если хотя бы одно из условий а) и б) не выполнено, то нет никаких оснований считать, что статистика t имеет распределение Стьюдента, поэтому применение традиционного метода, строго говоря, не обосновано. Обсудим возможность проверки этих условий и последствия их нарушений.

          Имеют ли результаты наблюдений нормальное распределение? Как показано в главе 2.1, априори нет оснований предполагать нормальность распределения результатов экономических, технико-экономических, технических, медицинских и иных наблюдений. Следовательно, нормальность надо проверять. Разработано много статистических критериев для проверки нормальности распределения результатов наблюдений [1]. Однако проверка нормальности - более сложная и трудоемкая статистическая процедура, чем проверка однородности (как с помощью статистики t Стьюдента, так и с использованием непараметрических критериев, рассматриваемых ниже).

          Для достаточно надежного установления нормальности требуется весьма большое число наблюдений. В главе 2.1 показано, что для того, чтобы гарантировать, что функция распределения результатов наблюдений отличается от некоторой нормальной не более чем на 0,01 (при любом значении аргумента), требуется порядка 2500 наблюдений. В большинстве технических, экономических, медицинских и иных исследований число наблюдений существенно меньше.

          Как уже отмечалось, есть и одна общая причина отклонений от нормальности: любой результат наблюдения записывается конечным (обычно 2-5) количеством цифр, а с математической точки зрения вероятность такого события равна 0. Следовательно, в прикладной статистике распределение результатов наблюдений практически всегда более или менее отличается от нормального распределения.  

          Последствия нарушения условия нормальности. Если условие а) не выполнено, то распределение статистики t не является распределением Стьюдента. Однако при справедливости H'₀  и условии б) распределение статистики t при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению Ф(х)=N(x; 0, 1). К этому же распределению приближается распределение Стьюдента при возрастании числа степеней свободы. Другими словами, несмотря на нарушение условия нормальности традиционный метод (критерий Стьюдента) можно использовать для проверки гипотезы H'₀ при больших объемах выборок. При этом вместо таблиц распределения Стьюдента достаточно пользоваться таблицами стандартного нормального распределения Ф(х).

          Сформулированное в предыдущем абзаце утверждение справедливо для любых функций распределения F(x) и G(x) таких, что M(X)=M(Y), D(X)=D(Y) и выполнены некоторые внутриматематические условия, обычно считающиеся справедливыми в реальных задачах. Если же M(X)¹M(Y), то нетрудно вычислить, что при больших объемах выборок

P(t<x)»Ф(x-a_mn),             (2)

где

.               (3)

Формулы (2) - (3) позволяют приближенно вычислять мощность t-критерия (точность возрастает при увеличении объемов выборок т и п).

          О проверке условия равенства дисперсий. Иногда условие б) вытекает из методики получения результатов наблюдений, например, когда с помощью одного и того же прибора или методики m раз измеряют характеристику первого объекта и п раз - второго, а параметры распределения погрешностей измерения при этом не меняются. Однако ясно, что в постановках большинства исследовательских и практических задач  нет основании априори  предполагать равенство дисперсий.

          Целесообразно ли проверять равенство дисперсий статистическими методами, например, как это иногда предлагают, с помощью F-критерия Фишера? Этот критерий основан на нормальности распределений результатов наблюдений, от которой неизбежны отклонения (см. выше). Причем хорошо известно, что в отличие от t-критерия распределение F-критерия Фишера сильно меняется при малых отклонениях от нормальности [3]. Кроме того, F-критерий отвергает гипотезу D(X)=D(Y) лишь при большом различии выборочных дисперсий. Так, для данных [1] о двух группах результатов химических анализов отношение выборочных дисперсий равно 1,95, т.е. существенно отличается от 1. Тем не менее гипотеза о равенстве теоретических дисперсий принимается на 1%-м уровне значимости. Следовательно, при проверке однородности применение F-критерия для предварительной проверки равенства дисперсий нецелесообразно.

          Итак, в большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач условие б) нельзя считать выполненным, а проверять его нецелесообразно.

          Последствия нарушения условия равенства дисперсий. Если объемы выборок т и п велики, то можно показать, что распределение статистики t описывается с помощью только математических ожиданий M(Х) и M(Y), дисперсий D(X), D(Y) и отношения объемов выборок, а именно:

P(t<x)»Ф(b_mnx-a_mn),             (4)

где a_mn определено формулой (3),

.                  (5)

Если b_mn ¹ 1, то распределение статистики t отличается от распределения, заданного формулой (2), полученной в предположении равенства дисперсий. Когда b_mn=1? В двух случаях - при m = n и при D(X) = D(Y). Таким образом, при больших и равных объемах выборок требовать выполнения условия б) нет необходимости. Кроме того, ясно, что если объемы выборок мало различаются, то b_mn близко к 1. Так, для данных [1] о двух группах результатов химических анализов имеем b*_mn= 0,987, где b*_mn - оценка b_mn , полученная заменой в формуле (5) теоретических дисперсий на выборочные. 

          Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента. Подведем итоги рассмотрения t-критерия. Он позволяет проверять гипотезу H'₀ о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H₀ о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач не выполнены. Тем не менее при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.

          Критерий Крамера-Уэлча равенства математических ожиданий. Вместо критерия Стьюдента целесообразно для проверки H'₀  использовать критерий Крамера-Уэлча [6], основанный на статистике

.                  (6)

Критерий Крамера-Уэлча имеет прозрачный смысл – разность выборочных средних арифметических для двух выборок делится на естественную оценку среднего квадратического отклонения этой разности. Естественность указанной оценки состоит в том, что неизвестные статистику дисперсии заменены их выборочными оценками. Из многомерной центральной предельной теоремы и из теорем о наследовании сходимости [4] вытекает (см. главу 1.4), что при росте объемов выборок  распределение статистики Т Крамера-Уэлча сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Итак, при справедливости H'₀ и больших объемах выборок распределение статистики Т приближается с помощью стандартного нормального распределения Ф(х), из таблиц которого следует брать критические значения.

          При т=п, как следует из формул (1) и (6), t=T. При т¹п этого равенства нет. В частности, при s_x² в (1) стоит множитель (m - 1), а в (6)- множитель п.

          Если M(X)¹M(Y), то при больших объемах выборок

P(T<X)»Ф(x-c_mn),           (7)

где

.               (8)

При т=п или D(X)=D(Y), согласно формулам (3) и (8), a_mn=c_mn , в остальных случаях равенства нет.

          Из асимптотической нормальности статистики Т, формул (7) и (8) следует, что правило принятия решения для критерия Крамера-Уэлча выглядит так:

-                                   если |T|<то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий принимается на уровне значимости

-                     если же |T|>то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий отклоняется на уровне значимости .

          В прикладной статистике наиболее часто применяется уровень значимости  Тогда значение модуля статистики Т Крамера-Уэлча надо сравнивать с граничным значением

          Из сказанного выше следует, что применение критерия Крамера-Уэлча не менее обосновано, чем применение критерия Стьюдента. Дополнительное преимущество - не требуется равенства дисперсий D(X)=D(Y). Распределение статистики Т не является распределением Стьюдента, однако и распределение статистики t, как показано выше, не является таковым в реальных ситуациях.

          Распределение статистики Т при объемах выборок т=п=6, 8, 10, 12 и различных функциях распределений выборок F(x) и G(x) изучено нами совместно с Ю.Э. Камнем и Я.Э. Камнем методом статистических испытаний (Монте-Карло). Рассмотрены различные варианты функций распределения F(x) и G(x). Результаты показывают, что даже при таких небольших объемах выборок точность аппроксимации предельным стандартным нормальным распределением вполне удовлетворительна. Поэтому представляется целесообразным во всех тех случаях, когда в настоящее время используется критерий Стьюдента, заменить его на критерий Крамера-Уэлча. Конечно, такая замена потребует переделки ряда нормативно-технических и методических документов, исправления учебников и учебных пособий для вузов.

         Пример 1. Пусть объем первой выборки Для второй выборки Вычислим величину статистики Крамера-Уэлча

Поскольку полученное значение по абсолютной величине меньше 1,96, то гипотеза однородности математических ожиданий принимается на уровне значимости 0,05.

          Непараметрические методы проверки однородности. В большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач представляет интерес не проверка равенства математических ожиданий или иных характеристик распределения, а обнаружение различия генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверка гипотезы H₀. Методы проверки гипотезы H₀ позволяют обнаружить не только изменение математического ожидания, но и любые иные изменения функции распределения результатов наблюдений при переходе от одной выборки к другой (увеличение разброса, появление асимметрии и т. д.). Как установлено выше, методы, основанные на использовании статистик t Стьюдента  и Т Крамера-Уэлча, не позволяют проверять гипотезу H₀ . Априорное предположение о принадлежности функций распределения F(x) и G(x) к какому-либо определенному параметрическому семейству (например, семействам нормальных, логарифмически нормальных, распределений Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и др.), как также показано выше, обычно нельзя достаточно надежно обосновать. Поэтому для проверки H₀ следует использовать методы, пригодные при любом виде F(x) и G(x), т.е. непараметрические методы. (Напомним, что термин «непараметрический метод» означает, что при использовании этого метода нет необходимости предполагать, что функции распределения результатов наблюдений принадлежат какому-либо определенному параметрическому семейству.)

          Для проверки гипотезы H₀  разработано много непараметрических методов - критерии Смирнова, типа омега-квадрат (Лемана - Розенблатта), Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван-дер-Вардена, Сэвиджа, хи-квадрат и др. [1, 2, 7]. Распределения статистик всех этих критериев при справедливости H₀ не зависят от конкретного вида совпадающих функций распределения F(x)ºG(x). Следовательно, таблицами точных и предельных (при больших объемах выборок) распределений статистик этих критериев и их процентных точек [1, 2] можно пользоваться при любых непрерывных функциях распределения результатов наблюдений.

          Каким из непараметрических критериев пользоваться? Как известно [3], для выбора одного из нескольких критериев необходимо сравнить их мощности, определяемые видом альтернативных гипотез. Сравнению мощностей критериев посвящена обширная литература.

          Хорошо изучены свойства критериев при альтернативной гипотезе сдвига

H_1c : G(x)=F(x-d), d¹0.

Критерии Вилкоксона, Ван-дер-Вардена и ряд других ориентированы для применения именно в этой ситуации. Если m раз измеряют характеристику одного объекта и п раз - другого, а функция распределения погрешностей измерения произвольна, но не меняется при переходе от объекта к объекту (это более жесткое требование, чем условие равенства дисперсий), то рассмотрение гипотезы H_1c оправдано. Однако в большинстве технических, экономических, медицинских и иных исследований нет оснований считать, что функции распределения, соответствующие выборкам, различаются только сдвигом.