Глава 4. Статистика интервальных данных

4.3. Интервальные данные в задачах проверки гипотез

          С позиций статистики интервальных данных целесообразно изучить все практически используемые процедуры прикладной математической статистики, установить соответствующие нотны и рациональные объемы выборок. Это позволит устранить разрыв между математическими схемами прикладной статистики и реальностью влияния погрешностей наблюдений на свойства статистических процедур. Статистика интервальных данных – часть теории устойчивых статистических процедур, развитой в монографии [3]. Часть, более адекватная реальной статистической практике, чем некоторые другие постановки, например, с засорением нормального распределения большими выбросами.

          Рассмотрим подходы статистики интервальных данных в задачах проверки статистических гипотез. Пусть принятие решения основано на сравнении рассчитанного по выборке значения статистики критерия  с граничным значением С: если f>C, то гипотеза отвергается, если же f<C, то принимается. С учетом погрешностей измерений выборочное значение статистики критерия может принимать любое значение в интервале  Это означает, что «истинное» значение порога, соответствующее реально используемому критерию, находится между C-N_f(y) и C+N_f(y), а потому уровень значимости описанного правила (критерия) лежит между  и , где P(Z)=P(f<Z).

          Пример 1. Пусть  - выборка из нормального распределения с математическим ожиданием а и единичной дисперсией. Необходимо проверить гипотезу H₀: a = 0 при альтернативе

          Как известно из любого учебного курса математической статистики, следует использовать следует использовать статистику  и порог  где  - уровень значимости, Ф(^.) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В частности, С = 1,96 при

          При ограничениях (1) на абсолютную погрешность  Например, если = 0,1, а n = 100, то N_f(y) = 1,0. Это означает, что истинное значение порога лежит между 0,96 и 2,96, а истинный уровень значимости – между 0,003 и 0,34. Можно сделать и другой вывод: нулевую гипотезу H₀ допустимо отклонить на уровне значимости 0,05 лишь тогда, когда f > 2,96.

          Если же n = 400 при  то N_f(y) =2,0 и C-N_f(y) = -0,04, в то время как C+N_f(y) =3,96. Таким образом, даже в случае x = 0 гипотеза H₀  может быть отвергнута только из-за погрешностей измерений результатов наблюдений.

          Вернемся к общему случаю проверки гипотез. С учетом погрешностей измерений граничное значение  в статистике интервальных данных целесообразно заменить на  Такая замена дает гарантию, что вероятность отклонения нулевой гипотезы H₀, когда она верна, не более  При проверке гипотез аналогом статистической погрешности, рассмотренной выше в задачах оценивания, является . Суммарная погрешность имеет вид  Исходя из принципа уравнивания погрешностей [3], целесообразно определять рациональный объем выборки из условия

          Если f = |f₁|, где f₁ при справедливости H₀ имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией  то

   (47)

при больших n, где  - квантиль порядка стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Из (47) вытекает, что в рассматриваемом случае

В условиях примера 1  и

          Пример 2. Рассмотрим статистику одновыборочного критерия Стьюдента

где v – выборочный коэффициент вариации. Тогда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка нотна для t имеет вид

где N_v(y) – рассмотренная ранее нотна для выборочного коэффициента вариации. Поскольку распределение статистики Стьюдента t сходится к стандартному нормальному, то небольшое изменение предыдущих рассуждений дает

          Пример 3. Рассмотрим двухвыборочный критерий Смирнова, предназначенный для проверки однородности (совпадения) функций распределения двух независимых выборок [41]. Статистика этого критерия имеет вид

где F_m(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке объема m, извлеченной из генеральной совокупности с функцией распределения F(x), а G_n(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке объема n, извлеченной из генеральной совокупности с функцией распределения G(x). Нулевая гипотеза имеет вид  альтернативная состоит в ее отрицании:  Значение статистики сравнивают с порогом зависящим от уровня значимости  и объемов выборок m и n. Если значение статистики не превосходит порога, то принимают нулевую гипотезу, если больше порога – альтернативную. Пороговые значения  берут из таблиц [42]. Описанный критерий иногда неправильно называют критерием Колмогорова-Смирнова. История вопроса описана в [43].

          При ограничениях (1) на абсолютные погрешности и справедливости нулевой гипотезы  нотна имеет вид (при больших объемах выборок)

Если F(x)=G(x)=x при 0<x<1, то  С помощью условия  при уровне значимости  и достаточно больших объемах выборок (т.е. используя асимптотическое выражение для порога согласно [42]) получаем, что выборки имеет смысл увеличивать, если 

Правая часть этой формулы при  равна 46. Если m = n, то последнее неравенство переходит в n < 92.

          Теоретические результаты в области статистических методов входят в практику через алгоритмы расчетов, воплощенные в программные средства (пакеты программ, диалоговые системы). Ввод данных в современном статистической программной системе должен содержать запросы о погрешностях результатов измерений. На основе ответов на эти запросы вычисляются нотны рассматриваемых статистик, а затем – доверительные интервалы при оценивании, разброс уровней значимости при проверке гипотез, рациональные объемы выборок. Необходимо использовать систему алгоритмов и программ статистики интервальных данных, «параллельную» подобным системам для классической математической статистики.