А.И.
Орлов
Математика случая
Вероятность и статистика – основные факты
Учебное пособие. М.: МЗ-Пресс, 2004.
Предыдущая |
4. Случайные величины и их распределения
Стандартное нормальное распределение и центральная предельная теорема
В вероятностно-статистических методах часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.
Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Как следует из результатов предыдущей главы,
Рассмотрим приведенную случайную величину Un для суммы , а именно,
Как следует из формул (7), M(Un) = 0, D(Un) = 1.
Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X1, X2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого х существует предел
где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.
Подробнее о функции Ф(х) – ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф – греческая прописная буква «фи»).
Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет – с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667-1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о теореме Муавра-Лапласа), до двадцатых – тридцатых годов ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906-1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.
Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось – изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых
(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.
Функция распределения Ф(х) задается равенством
,
где - плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:
.
Здесь =3,1415925… - известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,
При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым [8].
Вид плотности стандартного нормального распределения вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.
Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.
Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D(X) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины Un, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения Un стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем этот предельный переход справедлив для любого числа х.
Таблица 2.
Функция стандартного нормального распределения.
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
-5,0 |
0,00000029 |
-1,0 |
0,158655 |
2,0 |
0,9772499 |
-4,0 |
0,00003167 |
-0,5 |
0,308538 |
2,5 |
0,99379033 |
-3,0 |
0,00134990 |
0,0 |
0,500000 |
3,0 |
0,99865010 |
-2,5 |
0,00620967 |
0,5 |
0,691462 |
4,0 |
0,99996833 |
-2,0 |
0,0227501 |
1,0 |
0,841345 |
5,0 |
0,99999971 |
-1,5 |
0,0668072 |
1,5 |
0,9331928 |
Таблица 3.
Квантили стандартного нормального распределения.
р |
Квантиль порядка р |
р |
Квантиль порядка р |
0,01 |
-2,326348 |
0,60 |
0,253347 |
0,025 |
-1,959964 |
0,70 |
0,524401 |
0,05 |
-1,644854 |
0,80 |
0,841621 |
0,10 |
-1,281552 |
0,90 |
1,281552 |
0,30 |
-0,524401 |
0,95 |
1,644854 |
0,40 |
-0,253347 |
0,975 |
1,959964 |
0,50 |
0,000000 |
0,99 |
2,326348 |
Предыдущая |