Формулы Байеса

Применим формулу полной вероятности для вывода т.н. «формул Байеса», которые иногда используют при проверке статистических гипотез. Требуется найти вероятность события A_i, если известно, что событие В произошло. Согласно теореме умножения

Р(А_iВ) = P(B)P(A_i|B) = Р(А_i) Р(В|A_i).

Следовательно,

Используя формулу полной вероятности для знаменателя, находим, что

Две последние формулы и называют обычно формулами Байеса. Общая схема их использования такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно которых может быть сделано k гипотез A₁, A₂,…, A_k. Априорные (от a priori (лат.) – до опыта) вероятности этих гипотез есть Р(A₁), Р(A₂),…, Р(A_k). Известно также, что при справедливости гипотезы A_i вероятность осуществления события В равна P(B|A_i). Произведен опыт, в результате которого событие В наступило. Естественно после этого уточнить оценки вероятностей гипотез. Апостериорные (от a posteriori (лат.) – на основе опыта) оценки вероятностей гипотез Р(A₁|B), Р(A₂|B),…, Р(A_k|B) даются формулами Байеса. В прикладной статистике существует направление «байесовская статистика», в которой, в частности, на основе априорного распределения параметров после проведения измерений, наблюдений, испытаний, опытов анализов вычисляют уточненные оценки параметров.